Целочисленное деление отрицательных чисел

Целочисленное деление отрицательных чисел

Как выполнять деление отрицательных чисел легко понять, вспомнив, что деление — это действие, обратное умножению.

Если « a » и « b » положительные числа, то разделить число « a » на число « b », значит найти такое число « с », которое при умножении на « b » даёт число « a ».

Данное определение деления действует для любых рациональных чисел, если делители отличны от нуля.

Поэтому, например, разделить число « −15 » на число 5 — значит, найти такое число, которое при умножении на число 5 даёт число « −15 ». Таким числом будет « −3 », так как

Примеры деления рациональных чисел.

  1. 10 : 5 = 2 , так как 12 · 5 = 10
  2. (−4) : (−2) = 2 , так как 2 · (−2) = −4
  3. (−18) : 3 = −6 , так как (−6) · 3 = −18
  4. 12 : (−4) = −3 , так как (−3) · (−4) = 12

Из примеров видно, что частное двух чисел с одинаковыми знаками — число положительное (примеры 1, 2), а частное двух чисел с разными знаками— число отрицательное (примеры 3, 4).

Правила деления отрицательных чисел

Чтобы найти модуль частного, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя.

Итак, чтобы разделить два числа с одинаковыми знаками, надо:

  • модуль делимого разделить на модуль делителя;
  • перед результатом поставить знак « + ».

Примеры деления чисел с одинаковыми знаками:

Чтобы разделить два числа с разными знаками, надо:

  • модуль делимого разделить на модуль делителя;
  • перед результатом поставить знак « − ».

Примеры деления чисел с разными знаками:

Для определения знака частного можно также пользоваться следующей таблицей.

Правило знаков при делении

При вычислении «длинных» выражений, в которых фигурируют только умножение и деление, пользоваться правилом знаков очень удобно. Например, для вычисления дроби

Можно обратить внимание, что в числителе два знака «минус», которые при умножении дадут «плюс». Также в знаменателе три знака «минус», которые при умножении дадут «минус». Поэтому в конце результат получится со знаком «минус».

Сокращение дроби (дальнейшие действия с модулями чисел) выполняется также, как и раньше:

Читайте также:  Люфт руля ваз 2105

Частное от деления нуля на число, отличное от нуля, равно нулю.

Делить на ноль НЕЛЬЗЯ !

Все известные ранее правила деления на единицу действуют и на множество рациональных чисел.

  • а : 1 = a
  • а : (−1) = −a
  • а : a = 1

, где « а » — любое рациональное число.

Зависимости между результатами умножения и деления, известные для положительных чисел, сохраняются и для всех рациональных чисел (кроме числа нуль):

  • если a · b = с; a = с : b; b = с : a;
  • если a : b = с; a = с · b; b = a : c

Данные зависимости используются для нахождения неизвестного множителя, делимого и делителя (при решении уравнений), а также для проверки результатов умножения и деления.

Пример нахождения неизвестного.

Знак «минус» в дробях

Разделим число « −5 » на « 6 » и число « 5 » на « −6 ».

Напоминаем, что черта в записи обыкновенной дроби — это тот же знак деления, поэтому можно записать частное каждого из этих действий в виде отрицательной дроби.

Таким образом знак «минус» в дроби может находиться:

  • перед дробью;
  • в числителе;
  • в знаменателе.

При записи отрицательных дробей знак «минус» можно ставить перед дробью, переносить его из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель.

Это часто используется при выполнении действий с дробями, облегчая вычисления.

Пример. Обратите внимание, что после вынесения знака «минуса» перед скобкой мы из большего модуля вычитаем меньший по правилам сложения чисел с разными знаками.

Используя описанное свойство переноса знака в дроби, можно действовать, не выясняя, модуль какого из данных дробных чисел больше.

Вопрос возник при решении задачи о палиндроме. Вот решение

которое работает для слов четной длины, и не работает для слов с нечтным количеством символов.
Оказалось, что 7//2==3 , а -7//2==-4
то есть задачу то я решил:

но почему так реализовано целочисленное деление? Хотелось бы -7//2 ==-3 .
Какой тут глубинный смысл? А то ведь

В этой статье я расскажу о том, как правильно находить остаток от деления отрицательных чисел. Этой теме, к сожалению, уделяется очень мало внимания в школе, хотя для понимания учеником базовых основ математики она чрезвычайно важна. Именно поэтому, как репетитор по математике, на своих занятиях я разбираю это материал с учениками во всех подробностях. Это значительно упрощает дальнейшую подготовку к ЕГЭ, ОГЭ, вступительным экзаменам и олимпиадам по математике.

Читайте также:  Fallout 4 техник том

Итак, приступим. Чтобы разделить друг на друга два целых числа с остатком, нужно воспользоваться следующей теоремой:

Для любых целых чисел и , причём , найдётся единственная пара целых чисел и , таких что , где .

Здесь — делимое, — делитель, — неполное частное, — остаток. Сразу обращаем внимание, что остаток — это неотрицательное число. Понятно, что условие возникает потому, что деление на нуль невозможно.

Звучит довольно сложно, но на самом деле в этой теореме нет ничего сложного. Чтобы во всём разобраться, перейдём к примерам.

Примеры нахождения остатка от деления отрицательных чисел

Пример 1. Деление с остатком положительного целого числа на положительное целое число.

Допустим, что требуется разделить с остатком 27 на 4. Вопрос состоит в том, сколько раз число 4 содержится в числе 27? Но мы знаем, что нет такого целого числа, на которое можно умножить 4, чтобы получить 27. Поэтому вопрос нужно переформулировать. На какое число нужно умножить 4, чтобы получить число, максимально близкое к 27, но не превзойти его? Очевидно, что это число 6. Если 4 умножить на 6, то получится 24. До исходного делимого 27 не хватает 3. Следовательно, остаток от деления 27 на 4 составляет 3:

ост. .

Пример 2. Деление с остатком отрицательного целого числа на положительное целое число.

Что если требуется найти остаток от деления отрицательного целого числа -15 на положительное целое число 4? Начнём с того, что неполное частное должно получиться отрицательным, поскольку при делении отрицательного числа на положительное, результат получается отрицательным. Кто-нибудь может предположить, что неполное частное в данном случае должно быть равно -3. Но в этом случае, умножив -3 на 4, мы получим -12. И чтобы получить исходное делимое -15, нужно к результату -12 прибавить число -3, которое не может быть остатком, потому что остаток не может быть отрицательным!

Читайте также:  Телефон 375 какая страна

Поэтому в данном случае неполное частное равно -4. В этом случае, умножая -4 на делитель 4, мы получаем -16. И теперь, чтобы получить исходное делимое -15, нужно к этому результату прибавить число 1. Оно неотрицательно и меньше модуля делителя (то есть 4). То есть оно и является остатком:

ост. .

Пример 3. Деление положительного целого числа на отрицательное целое число.

Рассмотрим теперь пример деления с остатком положительного целого числа 113 на отрицательное целое число -3. Неполное частное, как и в предыдущем примере, должно быть отрицательным, потому что при делении положительного числа на отрицательное, результат отрицателен. Давайте думать, чему конкретно равно неполное частное. Очевидно, что оно равно -37. Действительно, при умножении -37 на -3 получается 111. Теперь, чтобы получить исходное делимое, нужно прибавить к этому результату число 2, которое неотрицательно и меньше модуля делителя (то есть модуля -3, что равно 3). Итак, наш ответ:

ост. .

Пример 4. Деление с остатком отрицательного целого числа на отрицательное целое число.

Ну и последний пример. Отрицательное целое число -15 требуется поделить с остатком на отрицательное целое число -7. Неполное частное должно быть положительно по знаку, потому что при делении отрицательных чисел результат получается положительным. И оно равно 3. Действительно, умножая 3 на -7, получаем -21. Теперь к этому числу нужно прибавить положительное и меньшее модуля -7 (то есть 7) число 6, чтобы получить наше исходное делимое -15. Следовательно, остаток от деления отрицательных чисел -15 на -7 равен:

ост. .

Проверьте, насколько хорошо вы поняли этот урок. Найдите самостоятельно остаток от деления отрицательных чисел:

Свои ответы пишите в комментариях, я их проверю.

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector