Центр правильного многоугольника это

Центр правильного многоугольника это

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Содержание

Определение

Многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все его углы равны.

Теорема о центре правильного многоугольника

В каждом правильном многоугольнике есть точка, равноудаленная от всех его сторон и от всех его вершин.

Доказательство

Рассмотрим правильный многоугольник.

Проведем в нём биссектрисы углов $A$ и $B$.

Пусть они пересекаются в точке $O$.

Докажем, что биссектрисы остальных углов данного многоугольника тоже проходят через точку $O$.

Так как $OA$ и $OB$ – это биссектрисы, а углы правильного многоугольника равны, то $angle 1=angle 2=angle 3=angle 4=frac<1><2>angle A$.

Следовательно, треугольник $ riangle AOB$ равнобедренный, то есть $OA=OB$.

Кроме того $ riangle AOB= riangle BOC$ по первому признаку равенства ($OA=OB, AB=BC, angle 2=angle 4$).

Следовательно, $OB=OC$ и $angle 5=angle 3=frac<1><2>angle A$.

Таким образом $OC$ является биссектрисой угла $C$, а точка $O$ равноудалена от вершин $A, B$ и $C$.

Аналогичные рассуждение теперь можно провести для вершины $D$, и потом по очереди для всех других вершин многоугольника.

Таким образом точка $O$ равноудалена от всех вершин многоугольника, в силу равенства треугольников.

Кроме того точка $O$ равноудалена от всех сторон многоугольника, так как это точка пересечение биссектрис.

Следствие

Для любого правильного многоугольника существует вписанная и описанная окружность, причём их центры совпадают. Вписанная и описанная окружность для правильного многоугольника единственны.

Доказательство

Существование и совпадение центров вписанной и описанной окружности непосредственно следуют из теоремы.

Рассмотрим какие-нибудь три вершины многоугольника, например $A, B, C$.

Так как через эти точки проходит только одна окружность, то около многоугольника можно описать только одну окружность.

Теперь предположим, что в правильный многоугольник можно вписать окружность с центром $O$ и радиусом $OM$ и другую окружность с центром $O_1$ и радиусом $O_1M_1$.

Читайте также:  Всегда открывать файлы этого типа как убрать

Тогда центр $O_1$ равноудалён от всех сторон многоугольника, следовательно, точка $O_1$ лежит на каждой из биссектрис углов многоугольника и, следовательно, совпадает с точкой $O$ пересечения этих биссектрис.

Радиус окружности $O_1M_1$ равен расстоянию от точки $O$ до сторон многоугольника, то есть $OM$.

Таким образом вторая окружность совпадает с первой.

Следствие

Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах.

Доказательство

Утверждение следует из того, что радиус вписанной окружности является высотой равнобедренного треугольника $AOB$.

Теорема

Пусть $alpha$ – это угол правильного $n$-угольника, а $eta$ – угол между радиусами описанной окружности, проведёнными к соседним вершинам. Тогда выполняются следующие соотношения

Центром правильного многоугольника называется точка, равноудаленная от всех его вершин и всех его сторон.

Центральным углом правильного многоугольника называется угол, под которым видна сторона из его центра.

Свойства правильного многоугольника.

* Правильный многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности, при этом центры этих окружностей совпадают
* Центр правильного многоугольника совпадает с центрами вписанной и описанной окружностей.
* Сторона an правильного n-угольника связана с радиусом R описанной окружности формулой an=2Rsinn180=2Rsinn.
* Периметры правильных n-угольников относятся как радиусы описанных окружностей.

Центром правильного многоугольника называется точка, равноудаленная от всех его вершин и всех его сторон.

Центральным углом правильного многоугольника называется угол, под которым видна сторона из его центра.

Ключевые слова: многоугольник, правильный многоугольник, сторона, угол, вписанная, описанная окружность

Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны.

Центром правильного многоугольника называется точка, равноудаленная от всех его вершин и всех его сторон.

Центральным углом правильного многоугольника называется угол, под которым видна сторона из его центра.

Читайте также:  Как отсортировать массив java


См. также:
Вписанная окружность, Описанная окружность, Выпуклый четырёхугольник, Произвольный выпуклый многоугольник

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector