Чему равен интеграл произведения

Чему равен интеграл произведения

Метод интегрирования по частям следует из формулы дифференцирования произведения двух функций. Известно, что интеграл от произведения функций не равен произведению интегралов, здесь существует более сложная зависимость.

Если u=u(x) и v=v(x) – две дифференцируемые функции от х, то по правилу дифференцирования произведения имеем

интегрируя обе части, получим:

Выразим отсюда один из интегралов, стоящих в правой части:

Полученная формула называется формулой интегрирования по частям.

Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в виде двух сомножителей u и dv, затем посленахождения v и du, используется формула интегрирования по частям. Иногда эту формулу приходится использоваться несколько раз.

Типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям:

1) Интегралы вида

Удобно положить u=P(x), а за dv обозначить все остальные сомножители.

2) Интегралы вида

Удобно положить dv=P(x)dx, а за u обозначить все остальные сомножители.

3) Интегралы вида

Удобно положить u=e ax

Пример 1. Найти ∫xsinxdx.

Пример 2. Найти ∫ xlnxdx.

Пример 3. Найти

Пример 4. Найти

Нередко при вычислении интегралов использование повторного применения интегрирования по частям приводит снова к первоначальному интегралу. Получается уравнение, из которого и находится искомый интеграл. Такие интегралы принято называть возвратными

Пример 5. Найти

Решим уравнение относительно неизвестного интеграла:

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студентов недели бывают четные, нечетные и зачетные. 9636 — | 7524 — или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Формула интегрирования по частям

Формула интегрирования по частям имеет вид:
.

Читайте также:  Как отксерокопировать с двух сторон

Метод интегрирования по частям состоит в применении этой формулы. При практическом применении стоит отметить, что u и v являются функциями от переменной интегрирования. Пусть переменная интегрирования обозначена как x (символ после знака дифференциала d в конце записи интеграла) . Тогда u и v являются функциями от x : u(x) и v(x) .
Тогда
, .
И формула интегрирования по частям принимает вид:
.

То есть подынтегральная функция должна состоять из произведения двух функций:
,
одну из которых обозначаем как u: g(x) = u , а у другой должен вычисляться интеграл (точнее находиться первообразная):
, тогда dv = f(x) dx .

В некоторых случаях f(x) = 1 . То есть в интеграле
,
можно положить g(x) = u, x = v .

Резюме

Итак, в данном методе, формулу интегрирования по частям стоит запомнить и применять в двух видах:
;
.

Интегралы, вычисляющиеся интегрированием по частям

Интегралы, содержащие логарифм и обратные тригонометрические (гиперболические) функции

По частям часто интегрируются интегралы, содержащие логарифм и обратные тригонометрические или гиперболические функции. При этом ту часть, которая содержит логарифм или обратные тригонометрические (гиперболические) функции обозначают через u , оставшуюся часть – через dv .

Вот примеры таких интегралов, которые вычисляются методом интегрирования по частям:
, , , , , , .
Подробное решение этих интегралов >>>

Интегралы, содержащие произведение многочлена и sin x, cos x или e x

По формуле интегрирования частям находятся интегралы вида:
, , ,
где P(x) – многочлен от x . При интегрировании, многочлен P(x) обозначают через u , а e ax dx , cos ax dx или sin ax dx – через dv .

Примеры вычисления интегралов методом интегрирования по частям

Примеры интегралов, содержащих логарифм и обратные тригонометрические функции

Пример

Подробное решение

Здесь подынтегральное выражение содержит логарифм. Делаем подстановки
u = ln x ,
dv = x 2 dx .
Тогда
,
.

Вычисляем оставшийся интеграл:
.
Тогда
.
В конце вычислений нужно обязательно добавить постоянную C , поскольку неопределенный интеграл – это множество всех первообразных. Также ее можно было добавлять и в промежуточных вычислениях, но это лишь загромождало бы выкладки.

Читайте также:  Nioh 2 будет ли на пк
Более короткое решение

Можно представить решение и в более коротком варианте. Для этого не нужно делать подстановки с u и v , а можно сгруппировать сомножители и применить формулу интегрирования по частям во втором виде.

Другие примеры

Примеры интегралов, содержащих произведение многочлена и sin x, cos x или ex

Пример

Введем экспоненту под знак дифференциала:
e – x dx = – e – x d(–x) = – d(e – x ) .

Интегрируем по частям.
.
Также применяем метод интегрирования по частям.
.
.
.
Окончательно имеем:
.

Другие примеры

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 19-10-2014

Интеграл произведения функций ( int f(x) g(x) d x ) в общем случае не равен произведению интегралов от каждого из факторов:

( int f(x) g(x) d x
eq int f(x) d x cdot int g(x) d x )

В зависимости от того, какие функции находятся под знаком интеграла, интеграл от произведения в некоторых случаях может быть выражен через элементарные функции, а в некоторых случаях можно оценить определенный интеграл произведения функций. Для этого используются теоремы о среднем значении.

Теорема 1. Пусть функции ( f(x) )и ( g(x) ) интегрируемы на отрезке ( [a ; b] ), с ( m leq f(x) leq M, x in[a ; b] ) и ( g(x) geq 0 ) на ( [mathrm ; mathrm] ), затем

Следствие 1. Пусть функция ( f(x) ) интегрируема на отрезке ( [a ; b] ) и ограничены на этом отрезке: ( m leq f(x) leq M ) . затем ( m(b-a) leq int_^ f(x) g(x) d x leq M(b-a) )

Примеры решения проблем на тему «Интегральные работы»

Подынтегральная функция ( f(x)=frac<5-x><9-x^<2>> ) определена на отрезке ( [0 ; 2] ). Используя дифференциальное исчисление, можно показать, что на этом отрезке функция принимает наименьшее значение, равное ( frac<1> <2>) ; и самый маленький ( -frac<3> <5>) . Тогда, согласно следствию 1, мы можем написать:

Ответ ( 1 leq int_<0>^ <2>frac<5-x><9-x^<2>> d x leq frac<6><5>)

Интегральная функция ( f(x)=frac<sin x> ) убывает на сегменте интегрирования ( left[frac<pi> <4>; frac<pi><2>
ight] ), поэтому справедлива оценка:

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector