Чему равен интеграл синуса

Чему равен интеграл синуса

Интеграл от синуса по таблице интегрирования равен: $$ int sin x dx = — cos x + C $$

Словами это читается так: интеграл от синуса равен сумме отрицательного косинуса и произвольной постоянной.

Пример 1
Найти интеграл от синус 2x: $$ int sin 2x dx $$
Решение

Напрямую интеграл взять не получится, так как аргумент синуса и знака дифференциала отличаются. Выполняем подведение под дифференциал $ 2x $ и добавляем перед интегралом дробь $ frac<1> <2>$:

$$ int sin 2x dx = frac<1> <2>int sin 2x d(2x) = -frac<1> <2>cos 2x + C $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ $$ int sin 2x dx = -frac<1> <2>cos 2x + C $$

В данном случае необходимо воспользоваться одной из тригонометрических формул. Конкретно формулой понижения степени синуса: $$ sin^2 x = frac<1-cos 2x> <2>$$

Заменяем выражение под интегралом:

$$ int sin^2 x dx = int frac<1-cos 2x> <2>dx = frac<1> <2>int (1-cos 2x) dx = $$

$$ = frac<1> <2>int 1dx — frac<1> <2>int cos 2x dx = frac<1><2>x — frac<1><2>cdotfrac<1><2>int cos 2x d(2x) = $$

Пример 2
Найти интеграл от синуса в квадрате: $$ int sin^2 x dx $$
Решение
Ответ
$$ int sin^2 x dx = frac<1><2>x — frac<1><4>sin 2x + C $$

Здесь нужно вспомнить свойство степеней и учесть: $$ sin^3 x = sin x cdot sin^2 x $$

Подставляем, полученное выражение в интеграл и заносим $ sin x $ под знак дифференциала:

$$ int sin^3 x dx = int sin x sin^2 x dx = — int sin^2 x d(cos x) = $$

Далее используем свойство $ sin^2 x = 1 — cos^2 x $:

$$ = -int (1-cos^2 x) d(cos x) = -int d(cos x) + int cos^2 x d(cos x) = $$

$$ = — cos x + frac<cos^3 x> <3>+ C = frac<1> <3>cos^3 x — cos x + C $$

$$ int sin^3 x dx = frac<1> <3>cos^3 x — cos x + C $$

Пример 3
Найти интеграл от синуса в кубе: $$ int sin^3 x dx $$
Решение
Ответ
Читайте также:  Css url путь к файлу

Вычисление начнем как в случае с неопределенным интегралом и в конце используем формулу Ньютона-Лейбница $ int_a^b f(x) dx = F(x) igg |_a^b = F(b)-F(a) $:

$$ int_0^pi sin x dx = -cos x igg |_0^pi = -cos pi + cos 0 = -(-1) + 1 = 1+1=2 $$

Со времен школы помню, что:
1. Интеграл — это площадь под графиком (геометрический смысл)
2. Интеграл — это сумма мгновенных значений функции. (арифметический смысл)
Период синуса равен 2 * pi
Вопрос: Сколько будет интеграл синуса по периоду?
Если идти по первому пути, то сумма площадей двух горбов (>0), если идти по второму пути, то ноль.

Таблица интегралов представляет собой набор интегралов от различных функций, таких как:

Эти интегралы в основном от элементарных функций и эта таблица приведена ниже:

В колонках этой таблицы:

  • В этой таблице в первой колонке приведен интеграл и чему он равен
  • Во второй колонке таблицы находится описание этого интеграла в словах
  • В третье колонке приведены примеры, как же пользоваться калькулятором интегралов

Получается, что ваша задача здесь научиться не только пользоваться таблицей интегралов, но и научиться вычислять интегралы с помощью калькулятора онлайн на этом сайте kontrolnaya-rabota.ru. Сам калькулятор интегралов находится по ссылке решение интегралов онлайн. Самое интересное, он умеет выдавать не только ответ, но и подробное решение бесплатно!

Пожалуйста, пишите, что вам не понятно будет на почту mail@kontrolnaya-rabota.ru о недостатках данной таблицы, чтобы вы хотели видеть еще здесь.

Видео примеры по использованию таблицы

Неопределенные интегралы:

Определенные интегралы:

Пример 4
Вычислить определенный интеграл от синуса: $$ int_0^pi sin x dx $$
Решение
Ссылка на основную публикацию
Adblock detector