Через точку провести прямую параллельную двум плоскостям

Через точку провести прямую параллельную двум плоскостям

92*. Через точку А провести какую-либо прямую, параллельную плоскости треугольника BCD (рис. 90, а).

Решение. Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости. Поэтому через точку А можно провести неопределенное число прямых, параллельных данной плоскости. Например, проведя (рис. 90, б)

через точку а’ прямую e’f’ параллельно b’d’ и через а прямую ef параллельно bd, мы получаем проекции прямой EF, параллельной стороне треугольника BD, а следовательно, и его плоскости. Выбор прямой BD был произволен.

93*. Через точку А провести какую-либо прямую, параллельную пл. Р (рис. 91, а).

Решение. Строим (рис. 91,6) проекции mn и m’n’ некоторой прямой MN, лежащей в пл. Р. Затем через а’ проводим фронт. проекцию b’с’ параллельно m’n’,

а через а горизонт. проекцию bc параллельно mn. Прямая ВС параллельна прямой MN, а следовательно, и плоскости Р.

94*. Определить, параллельна ли прямая АВ плоскости Р (рис. 92, а).

Решение. Для определения, параллельна ли прямая АВ пл. Р, надо попытаться провести в этой плоскости прямую, параллельную данной. На рис. 92, б проведена фронт. проекция c’d’ параллельно а’b’. Строим горизонт. проекцию cd.

соблюдая условие, что прямая CD должна лежать в пл. Р. Так как построенная проекция cd оказалась не параллельной ab, то прямые AВ и CD не параллельны а это значит, что прямая АВ и пл. Р также не параллельны.

Можно было начать с проведения горизонт. проекции некоторой прямой параллельно ab, построить ее фронт. проекцию, придерживаясь условия, что эта прямая должна лежать в пл. Р, и сопоставить построенную фронт. проекцию с а’b’.

95. Определить, параллельна ли прямая АВ

а) плоскости, заданной двумя параллельными прямыми CD и EF (рис. 93, а),

б) плоскости Р (рис. 93, б),

в) плоскости Q (рис. 93, в).

96*. Провести через точку А плоскость параллельно плоскости, заданной точками В, С и D (рис. 94, а).

Решение. Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной из них соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости (рис. 94, б).

Для построения искомой плоскости проводим в заданной плоскости две пересекающиеся прямые BD и CD (рис. 94, б и в). Затем через а’ проводим а’f’ параллельно b’d’ и а’е’ параллельно с’d’, а через а проводим af параллельно bd и ае параллельно cd Прямые АР и АЕ параллельны прямым BD и CD, следовательно, параллельны между собой и определяемые ими плоскости.

Читайте также:  Lenovo thinkpad r61i характеристики

97*. Через точку А (рис. 95, а) провести плоскость параллельно пл. Р.

Решение. Как известно, горизонтали параллельных плоскостей параллельны между собой, параллельны между собой и фронтали. Также одноименные следы параллельных плоскостей соответственно параллельны между собой (рис. 95, б).

На рис. 95, а задаем искомую плоскость двумя прямыми горизонталью АС и фронталью АВ, для чего через а’ проводим а’b’ параллельно Pϑ и а’с’ параллельно оси х, а через точку а проводим ас параллельно Рh и аb параллельно оси х. Так как след Рϑ есть одна из фронталей пл. Р, а след Рh — одна из ее горизонталей, то получаем параллельность горизонталей и параллельность фронталей одной и другой плоскостей, т. е. параллельность этих плоскостей. На рис. 95, г показано построение для искомой плоскости ее следов Qϑ и Qh. Для их построения проводим через точку А горизонталь искомой плоскости параллельно следу Ph и находим фронт. след N(n,n’) этой горизонтали. Теперь через n’ проводим Qϑ || Pϑ находим точку Qx на оси x и проводим след Qh параллельно Рh

98. Через точку А (рис. 96) провести плоскость, параллельную плоскости, заданной параллельными прямыми CD и EF; выразить искомую плоскость двумя пересекающимися прямыми.

99. Через точку А (рис. 97) провести плоскость параллельно пл. Р; выразить искомую плоскость ее следами.

100. Через точку А (рис. 98) провести плоскость параллельно пл. Р. Дать ответы: а) выразить пл. горизонталью н фронталью, б) следами.

101. Определить, параллельны ли плоскости, из которых одна задана параллельными прямыми АВ и CD, а другая — пересекающимися прямыми EF и EG (рис. 99).

Признаки параллельности прямой и плоскости имеют следующее определение — прямая m параллельна плоскости α, если в плоскости α можно провести прямую n, параллельную m:

Очевидно через точку пространства, не принадлежащую плоскости, можно провести бесчисленное множество прямых, параллельных данной плоскости.

Через точку A провести прямую m, параллельную плоскости α, заданной пересекающимися прямыми a и b

Если нет никаких дополнительных условий, то мы вправе, используя признаки параллельности прямой и плоскости, провести любую прямую из множества прямых, проходящих через точку A и параллельных плоскости α — например параллельно одной из прямых a или b. Если же поставлено условие, чтобы прямая не была параллельна прямым a и b — необходимо построить прямую 12 и провести искомую прямую m(m`, m") параллельно ей.

Через заданную точку A провести плоскость, параллельную прямой f

Плоскость задаем пересекающимися в точке A прямыми a и b. При этом одна из прямых (прямая a) параллельна прямой f.

Читайте также:  Как отключить быстрый доступ в windows 10

Через заданную точку K провести прямую, параллельную плоскости треугольника ABC и фронтали, проходящей через вершину A

Построим фронталь f по заданному условию: — через точку A` параллельно оси x проводим прямую f`. Данная прямая пересекает B`C` — сторону треугольника в точке D`. По линии связи находим фронтальную проекцию D" точки D, принадлежащей стороне BC треугольника. Проводим через точки A" и D" прямую f". Через точку K проводим прямую параллельную фронтали f. Данная прямая будет параллельна и плоскости треугольника ABC.

Через точку A(-3;4;-3) провести прямую параллельную двум плоскостям α(3x+4y-2z+7=0) и β(x-2z+5=0)

1. Строим проекции точки A 2. Строим следы плоскости α (3x+4y-2z+7=0): a) z=0; 3x+4y+7=0; αH; y=0; 3x+7=0, x=-7/3, x=-2,33; b) y=0; 3x-2z+7=0; αV; x=0; -2z+7=0, z=3,5; z=0; 3x+7=0, x=-2,33 3) Строим следы плоскости β (x-2z+5=0): βV x=0; -2z+5=0, z=5/2, z=2,5; z=0; x+5=0, x=-5 4) Строим линию пересечения 1—2 заданных плоскостей α и β

5) Строим линию m параллельную плоскостям α и β: m`‖1`—2` и m"‖1"—2"

Задача 1. Через точку А провести плоскость Q, параллельную заданной плоскости Р.

Рис. 4.17 Рис. 4.18

Если плоскость задана пересекающимися прямыми (рис. 4.17), то решение задачи сводится к проведению через точку А пары прямых, параллельных заданным.

Если плоскость задана следами (4.18), то построение может быть выполнено по следующему алгоритму:

1. Через точку А проводим, например, горизонталь искомой плоскости Q, параллельную горизонталям заданной плоскости Р.

2. Через эту горизонталь проводим искомую плоскость параллельно заданной. Фронтальный след QV проводим через фронтальную проекцию п’ фронтального следа горизонтали параллельно следу PV ; горизонтальный след QH — через точку QХ параллельно следу РН.

Задача 2. Через точку А (а, а’) провести плоскость Q, перпендикулярную к прямой (рис. 4.19).

а) Требуется показать искомую плоскость пересекающимися прямыми. В этом случае наиболее просто построить плоскость Q главными линиями — горизонталью и фронталью, проходящими через точку А (а, а’).

Рис. 4.19 Рис. 4.20

б) Требуется показать искомую плоскость следами. Построение может быть выполнено по следующему алгоритму. Через точку А проводим горизонталь плоскости Q перпендикулярно к отрезку ВС. Затем через эту горизонталь проводим искомую плоскость перпендикулярно к прямой ВС. Фронтальный след QV проводим через фронтальную проекцию п’ фронтального следа горизонтали перпендикулярно b’с′; горизонтальный след QH — через точку QХ перпендикулярно к bс.

Задача 3. Через точку А (а, а’) провести плоскость Q, перпендикулярную к заданной плоскости Р и проходящую через точку схода следов QХ на оси X (рис. 4.20).

Читайте также:  Как найти песню по треку

Известно, что плоскость Q будет перпендикулярна к заданной плоскости Р, если она проходит через перпендикуляр к ней или перпендикулярно к линии, лежащей в плоскости Р.

На рис. 4.20 решение задачи выполнено по плану, использующему первое из этих условий:

1. Через заданную точку А проведен перпендикуляр к плоскости Р (am+PH,, a′m′+PV).

2. Через этот перпендикуляр и заданную точку QX проведена искомая плоскость Q. При этом след QН проведен через горизонтальную проекцию т горизонтального следа перпендикуляра и точку QX; след QV — через фронтальную проекцию п′ фронтального следа перпендикуляра и точку QX.

Искомую плоскость можно было бы построить и пересекающимися прямыми, если через точку QX провести какую-либо прямую, имеющую общую точку с перпендикуляром.

Задача 4. Через точку А (а, а’)провести прямую, перпендикулярную к прямой ВС.

Искомый перпендикуляр лежит в плоскости, перпендикулярной к заданной прямой ВС.

Поэтому задача может быть решена по следующему алгоритму:

1. Через точку А проводим плоскость Q, перпендикулярную к прямой ВС.

2. Определяем точку К (k, k’) пересечения прямой ВС с плоскостью Q при помощи горизонтально-проецирующей плоскости S.

3. Соединяем точки А и К.

На эпюре, решая задачу по этому алгоритму, можно плоскость показать двумя пересекающимися главными линиями (h×f) (рис. 4.21) или следами (рис. 4.22).

Рис. 4.21 Рис. 4.22

Задача 5. Построить линию пересечения плоскостей ABC и DEF.

Эту задачу можно решать с использованием задачи на пересечение прямой с плоскостью. На рис. 4.23 показано построение линии пересечения плоскостей, заданных треугольниками ABC и DEF. Прямая MN построена по найденным точкам пересечения сторон DF и EF треугольника DEF с плоскостью треугольника ABC.

Например, чтобы найти точку М пересечения стороны DF с плоскостью ABC, через прямую DF проводят фронтально-проецирующую плоскость Р, которая пересекается с плоскостью треугольника ABC по прямой I II. На пересечении горизонтальных проекций df и 12 получают горизонтальную проекцию m искомой точки М. Затем находят фронтальную проекцию m‘ точки М. Точку N пересечения прямой EF с плоскостью ABC находят, используя фронтально-проецирующую плоскость Q, которая пересекается с плоскостью треугольника ABC по прямой III IV. На пересечении горизонтальных проекций ef и 34 получают горизонтальную проекцию n искомой точки N.

Соединив попарно точки m‘ и n‘, m и n, получают проекции линии пересечения MN плоскостей ABC и DEF.

Видимость частей отрезков плоскостей устанавливается способом конкурирующих точек.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector