Что значит вычислить сумму

Что значит вычислить сумму

Цели:

  • Познакомить и формировать умение пользоваться математическими терминами " сумма", " значение суммы". Совершенствовать вычислительные навыки.
  • Развивать умения сравнивать , анализировать, обобщать. Развивать математическую речь, интерес к математике.
  • Воспитывать самостоятельность, дисциплинированность, умение работать в коллективе.
  • Оборудование: Мел, доска, карточки, мультимедийная установка, презентация.

    1. Организация класса на урок.

    2. Сообщение темы и целей урока:

    Сегодня на уроке мы будем открывать и раскрывать тайны математики. Итак, в путь!

    3. Знакомство с новым материалом.

    Ребята, а вы любите сказки? А сказки Уолта Диснея? Сейчас я зачитаю отрывок из сказки, а вы попробуйте догадаться о ком идет речь.

    Просыпайся, друг Филин!- весело крикнул зайчонок Толстячок.- Новый принц родился!

    Радостная весть мгновенно облетела лес, и все лесные жители спешили посмотреть на новорожденного олененка. Они умилялись, глядя на то, как он пытается встать. Его ножки были еще слишком слабыми, и он все время падал.

    Кто его узнал? Это, действительно, олененок по имени Бемби. И вот однажды наступило время познакомить его с лесом Из сказки мы с вами знаем, что Бемби любознательный, поэтому он приходил в восторг от всего, что видел вокруг.

    Давайте мы с вами отправимся с олененком в необычный "лес-математики".

    Олененок попадает на полянку и видит множество цветов. Но присмотревшись поближе , он замечает, что цветы хранят в себе какую-то тайну.

    Помогите ему разгадать эту тайну.

    Посмотрите и скажите, что вы видите? Какие всевозможные математические записи мы можем составить?

    Определение

    Пусть задан числовой ряд $ sum_^infty a_n $.

    Сумма ряда равна пределу частичных сумм:

    В данной формуле частичная сумма $ S_n $ расчитывается следующим образом:

    $$ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + . + a_n $$

    Читайте также:  Samsung 860 pro 128gb
    Замечание
    Если предел частичных сумм является конечным, то ряд является сходящимся. В противном случае ряд расходящийся.

    Как найти?

    Чтобы найти сумму ряда нужно выполнить несколько операций над общим членом ряда:

    1. Составить частичную сумму $ S_n $
    2. Найти предел $ lim_ S_n = S $

    Если получено конечное число $ S $, то оно и есть сумма ряда!

    Типы общего члена ряда в задачах:

    • Ряд задан бесконечной убывающей геометрической прогрессией $ sum_^infty q^n $, $ |q| lt 1 $
      В этом случае сумма вычисляется по формуле $ S = frac<1-q>$, где $ b_1 $ — первый член прогрессии, а $ q $ — её основание
    • Ряд задан в виде рациональной дроби $ frac$
      Здесь нужно воспользоваться методом неопределенных коэффициентов для разложения дроби на сумму элементарных дробей. Затем составить частичную сумму $ S_n $ и найти её предел, который будем искомой суммой

    Примеры решений

    Так как ряд представляет собой бесконечною убывающую геометрическую прогрессию, то воспользуемся формулой: $$ S = frac <1-q>$$

    Первый член прогрессии при $ n = 1 $ равен: $$ b_1 = frac<1> <9>$$ Основанием является: $$ q = frac<1> <3>$$

    Подставляя всё это в формулу для вычисления суммы получаем:

    Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

    Пример 1
    Найти сумму ряда: $ sum_^infty frac<1><3^> $
    Решение
    Ответ
    $$ S = frac<1> <6>$$

    Общий член ряда представляе собой рациональную дробь. Выполним разложение дроби на простейшие с помощью метода неопределенных коэффициентов:

    Приравниваем числитель последней дроби к числителю первой дроби:

    $$ 2An + 3A + 2Bn + B = 1 $$

    Теперь определяем находим неизвестные коэффициенты:

    После разложения общий член ряда записывается следующим образом:

    Далее составим частичную сумму ряда: $$ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + . + a_n $$

    Пример 2
    Найти сумму ряда $ sum_^infty frac<1> <(2n+1)(2n+3)>$
    Решение
    Читайте также:  Ютуб смотреть фильмы полностью

    Достаточно часто читатели нам присылают просьбы найти суммы своих рядов по причине того, что они не понимают, откуда получается $ a_ $.

    Обратите внимание, чтобы составить $ a_ $ необходимо подставить в $ a_n $ вместо буковки $ n $ выражение $ n-1 $. После выполнить раскрытие скобок.

    Выносим дробь одну вторую $ frac<1> <2>$ за скобки:

    Замечаем, что в скобках есть подобные слагаемые, которые взаимно уничтожаются. Остаются только лишь два из них:

    Теперь осталось вычислить предел частичной суммы $ S_n $. Если он существует и конечен, то он является суммой ряда, а сам ряд сходится:

    Замечание
    Ответ
    $$ S = frac<1> <6>$$

    В статье было рассказано: как найти сумму ряда, примеры решений, определение и формулы для двух типов числовых рядов.

    Орфографический словарь русского языка . 2006 .

    Смотреть что такое "вычислить" в других словарях:

    вычислить — сделать подсчет, сосчитать, посчитать, расчислить, догадаться, подсчитать, выкопать, подытожить, высчитать, исчислить, скалькулировать, просчитать, разгадать, произвести выкладки, сделать выкладки, произвести подсчет, раскалькулировать,… … Словарь синонимов

    ВЫЧИСЛИТЬ — ВЫЧИСЛИТЬ, вычислю, вычислишь, совер. (к вычислять), что. Посредством действий над числами найти искомое, высчитать. Вычислить квартирную плату сообразно с заработком жильца. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

    ВЫЧИСЛИТЬ — ВЫЧИСЛИТЬ, лю, лишь; ленный; совер. 1. что. Установить, подсчитывая; высчитать. В. стоимость постройки. 2. Обработать числовую информацию ручным или машинным способом. В. с помощью ЭВМ. 3. перен., кого (что). Верно рассчитать, что кто н. будет… … Толковый словарь Ожегова

    вычислить — ВЫЧИСЛИТЬ, лю, лишь; сов., кого. Встретить, найти кого л. Вовремя я тебя вычислил … Словарь русского арго

    Вычислить — сов. перех. см. вычислять Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой

    Читайте также:  Применение старого жесткого диска

    вычислить — вычислить, вычислю, вычислим, вычислишь, вычислите, вычислит, вычислят, вычисля, вычислил, вычислила, вычислило, вычислили, вычисли, вычислите, вычисливший, вычислившая, вычислившее, вычислившие, вычислившего, вычислившей, вычислившего,… … Формы слов

    вычислить — в ычислить, лю, лит … Русский орфографический словарь

    вычислить — Syn: подсчитать, высчитать … Тезаурус русской деловой лексики

    вычислить — лю, лишь; св. 1. что. Произведя действие над числами, найти искомое; установить, подсчитывая. В. скорость и направление ветра. В. широту и долготу. В. стоимость постройки. 2. что. Обработать числовую информацию ручным или машинным способом. В. с… … Энциклопедический словарь

    вычислить — лю, лишь; св. см. тж. вычислять, вычисляться, вычисление 1) что Произведя действие над числами, найти искомое; установить, подсчитывая. Вы/числить скорость и направление ветра. Вы/ … Словарь многих выражений

    Ссылка на основную публикацию
    Adblock detector