Формула арифметической прогрессии в эксель

Формула арифметической прогрессии в эксель

Инструмент Прогрессия дарит нам несколько замечательных возможностей. С помощью него можно заполнить диапазон ячеек данными по определенному закону: в арифметической или геометрической прогрессии. Для этого не нужно даже знать формулы. Для значений в формате дат предусмотрено создание специфических последовательностей.

Инструмент Прогрессия доступен через меню Главная/ Редактирование/ Заполнить/ Прогрессия…

Для начала работы введите начальное значение (первый член) прогрессии. Затем выделите диапазон ячеек, куда будут вводиться данные, и вызовите инструмент.

Числовые последовательности

Арифметическая прогрессия представляет собой числовую последовательность, где каждое число больше (или меньше) предыдущего на одно и тоже значение (шаг).

Примеры:
Арифметическая прогрессия с шагом 2 — это последовательность чисел 1, 3, 5, 7, 9, 11, … В окне инструмента Прогрессия нужно выбрать Арифметическая и установить Шаг равным 2.

Геометрическая прогрессия с шагом 2 — это последовательность чисел 2, 4, 8, 16, …. Этот пример позволяет быстро вспомнить степени 2. В окне инструмента Прогрессия нужно выбрать Геометрическая и установить Шаг равным 2.

Конечно, арифметическую прогрессию 1, 3, 5, 7, 9, 11, … можно организовать путем формулы =А1+2 , а геометрическую 2, 4, 8, 16, … — =А1*2 . Это уже как кому удобнее.

Последовательности дат и рабочих дней

В инструменте Прогрессия есть одна замечательная возможность по заполнению значений в формате дат. Вводим дату, выбираем диапазон,

вызываем инструмент Прогрессия, выбираем Тип Даты, выбираем Единицы Рабочий день.

В итоге получаем диапазон, заполненный только одними рабочими днями (не суббота и не воскресенье).

Если выберем в качестве единиц месяц, то месяц будет прибавляться к начальной дате и т.д. Эти возможности уже за несколько секунд не реализуешь, нужно вспоминать формулы. А если вспомнить, что еще можно и шаг прогрессии задавать, то можно гарантировать, что формула простой не получится.

Изучим как сделать арифметическую и геометрическую прогрессии в Excel, а также в общем случае рассмотрим способы создания числовых последовательностей.

Перед построением последовательностей и различных прогрессий, как обычно, вспомним их детальные определения.
Числовая последовательность — это упорядоченный набор произвольных чисел a1, a2, a3, …, an, … .
Арифметической прогрессией называется такая числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением постоянной величины d (также называют шагом или разностью):


Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в котором каждый член, начиная со второго, получается умножением предыдущего члена на ненулевое число q (также называют знаменателем):


С определениями закончили, теперь самое время перейти от теории к практике.

Арифметическая прогрессия в Excel

Рассмотрим 2 способа задания прогрессии в Excel — с помощью стандартного инструмента Прогрессия и через формулы.
В первом случае на панели вкладок выбираем Главная -> Редактирование -> Заполнить -> Прогрессия:

Читайте также:  Где находится история в опере


Далее мы увидим диалоговое окно с настройками параметров:


В данных настройках мы можем выбрать дополнительные параметры, которые позволят нам более детально настроить и заполнить прогрессию в Excel:

  • Расположение — расположение заполнения (по столбцам или строкам);
  • Тип — тип (арифметическая, геометрическая, даты и автозаполнение);
  • Единицы — вид данных (при выборе даты в качестве типа);
  • Шаг — шаг (для арифметической) или знаменатель (для геометрической);
  • Автоматическое определение шага — автоматическое определение шага, если заданы несколько значений последовательности;
  • Предельное значение — ограничение по значению последнего элемента последовательности.

Разберем как сделать арифметическую прогрессию в Excel на конкретном примере.

Создадим набор чисел 3, 7, 11, … , то есть первый элемент равняется 3, а шаг равен 4.
Выделяем диапазон (к примеру, A1:J1) в котором мы хотим разместить набор чисел (диапазон можно и не выделять, однако в этом случае в настройках будет необходимо указать предельное значение), где в первой ячейке будет указан первый элемент (в нашем примере это 3 в ячейке A1), и указываем параметры (расположение, тип, шаг и т.д.):


В результате мы получим заполненный диапазон с заданным набором чисел:


Аналогичный результат можно получить и при задании элементов с помощью формул.
Для этого также задаем начальный элемент в первой ячейке, а в последующих ячейках указываем рекуррентную формулу члена арифметической прогрессии (то есть текущий член получается как сумма предыдущего и шага):

Геометрическая прогрессия в Excel

Принцип построения геометрической прогрессии в Excel аналогичен разобранному выше построению арифметической.
Единственное отличие — в настройках характеристик указываем в качестве типа геометрическую прогрессию.

Например, создадим набор чисел 4, 8, 16, … , то есть первое число равно 4, а каждое последующее в 2 раза больше предыдущего.
Также задаем начальный элемент (4 в ячейке A1), выделяем диапазон данных (например, A1:J1) и указываем параметры:


В итоге получаем:


Идентичного результата также можно добиться и через использование формул:

Числовая последовательность в Excel

Арифметическая и геометрическая прогрессии являются частными случаями числовой последовательности, в общем же случае ее можно создать, как минимум, тремя способами:

  • Непосредственное (прямое) перечисление элементов;
  • Через общую формулу n-го члена;
  • С помощью рекуррентного соотношения, которое выражает произвольный член через предыдущие.

Первый способ подразумевает под собой ручной ввод значений в ячейки. Удобный вариант при вводе небольшого количества значений, в обратном же случае данный способ достаточно трудозатратный.
Второй и третий способы более универсальны, так как позволяют автоматически посчитать значения членов с помощью формул, что удобно при большом количестве элементов.
Поэтому поподробнее остановимся на построении последовательностей данными способами.

Читайте также:  Вопросы и ответы для кроссворда

Рассмотрим создание числовой последовательности на примере построения обратных чисел к натуральным, то есть набора чисел 1, 1/2, 1/3, … , в котором общая формула n-го члена принимает вид Fn=1/n.
Создадим дополнительный ряд в отдельной строчке, куда для удобства расчета поместим порядковые номера (1, 2, 3 и т.д.), на которые будут ссылаться формулы:

В варианте с рекуррентной формулой рассмотрим пример с набором чисел Фибоначчи, в котором первые два числа равны 1 и 1, а каждый последующее число равно сумме двух предыдущих.
В итоге произвольный член можно представить в виде рекуррентного соотношения Fn = Fn-1 + Fn-2 при n > 2.
Определяем начальные элементы (две единицы) в двух ячейках, а остальные задаем с помощью формулы:

Арифметическая прогрессия — последовательность чисел, каждое следующее из которых получается путем прибавления к предыдущему постоянного числа d, называемого разностью арифметической прогрессии.

Задачи по этой теме школьного курса математики сводятся к двум: найти n-ый член прогрессии или найти сумму n первых членов прогрессии (Sn).

Формулы для их нахождения:

На практике в Excel это означает вот что: допустим, имеется арифметическая прогрессия, первый член которой a1=5, а разность арифметической прогрессии d=2. Требуется найти сумму первых четырех членов прогрессии (n=4).

Вызовем Microsoft Excel и заполним появившуюся таблицу. В ячейки А1 и В1 занесем названия столбцов — "а" и "b". В ячейку А2 занесем число 5, в ячейку А3 — формулу =А2+2 — это формула вычисления второго члена прогрессии. Затем размножим эту формулу вниз по столбцу А, используя маркер заполнения — т. е. протянем курсором за нижний правый угол ячейки А3. Если по условию задачи нужно найти не слишком много членов прогрессии, можно просто дотянуть маркер до нужного значения, в данном случае — до шестой строки. Так же просто можно найти и сумму нескольких первых членов арифметической прогрессии. Достаточно в ячейку В2 поместить то же число 5 (сумма одного члена равна ему самому), а в ячейку В3 — формулу =В2+А3 и потянуть эту ячейку вниз до нужной суммы. В ячейках А6 и В6 получим искомые результаты — 13 и 45.

Хуже обстоит дело в следующем примере. Допустим, есть прогрессия, в которой a1=0, d= -1,4. Требуется найти сумму 202-х членов. Не хочется тянуть активную ячейку вниз на 202 клетки — удобнее воспользоваться формулами.

Читайте также:  Как отменить задачу принтера на печать

В первую строку снова вносим названия столбцов a1, d, n. Затем следует занести и сохранить формулы: в ячейку С3 — формулу n-го члена прогрессии =A2+(C2-1)*B2. В ячейку С4 — формулу суммы n членов арифметической прогрессии: =(A2+C3)/2*C2. И сохранить этот файл.

Теперь можно внести переменные — a1, d, n. В данном примере это число 0 в ячейку А2, число -1,4 — в ячейку B2 и число 202 — в ячейку C2.

Для задач, относящихся к арифметической прогрессии, решение существует всегда, ограничений ни на одну из переменных нет.

Результат будет выглядеть так (см. рис. 2).

Для усложнения задачи предполагается, что для последней прогрессии нужно найти сумму членов со 101 по 202. Сумма S202 = -28421,4 уже есть. Теперь необходимо найти сумму 100 первых членов и вычесть ее из суммы 202-х членов прогрессии. Найти решение 100 первых членов прогрессии (S100) проще простого — достаточно указать первым членом число 100 в ячейке С2: S100= -6930. После вычитания из суммы 202-х членов прогрессии суммы 100 первых ее членов получим сумму членов прогрессии с 101-го по 202-й (28421,4-(-6930) = -21491,4).

Геометрическая прогрессия — последовательность чисел, каждое следующее из которых получается из предыдущего умножением на постоянное число q (при этом q?1), называемое знаменателем геометрической прогрессии.

Формула нахождения n-го члена геометрической прогрессии aq=a1q-1. Формула суммы n членов геометрической прогрессии Sn=(a1-an q-1)/(1-q).

Перейдем к решению задачи нахождения n-го члена и суммы n членов геометрической прогрессии в Excel. Например, есть геометрическая прогрессия, где a1=10, q=0,3, n=4. Вызовем Excel и заполним таблицу: в первую строку занесем названия столбцов a1, q, n. В ячейку А2 запишем число 10, в ячейку В2 запишем 0,3, в С2 запишем 4. В ячейку С3 занесем формулу =A2*СТЕПЕНЬ (B2;C2-1), в ячейку С4 — формулу =(A2-C3*B2)/(1-B2). В результате вычислений получим a4=0,27, S4=14,17.

Поскольку знаменатель дроби равен (1-q), то, чтобы знаменатель не обратился в ноль, условием решения задачи является q не равное 1. Впрочем, q?1 по определению геометрической прогрессии. Других ограничений на переменные в этой задаче нет — они могут быть хоть отрицательными, хоть нулевыми.

Существует бесконечная геометрическая прогрессия (0

Возьмем, например, a1=3, q=0,25. В первой строке названия столбцов будут a1, q, S. Заполнив ячейки таблицы Excel: А2=3, В2=0,25, С2 — формула =A2/(1-B2), получим следующий результат (см. рис. 4).

Этим исчерпывается тема решения задач, связанных с геометрической прогрессией в Excel.

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector