Формула приближенного вычисления площади

Формула приближенного вычисления площади

Сколько места занимает фигура А на плоскости? Другими словами, какова ее площадь?

Ответ на этот вопрос мы можем дать лишь приблизительно, указав границы, в которых находится площадь фигуры А:

Какое же число из указанного промежутка наиболее точно выражает фигуры?
Внутри фигуры А расположены 6 целых клеток, а остальные 10 клеток входят в нее частично: иногда меньшая часть клетки, а иногда — большая. Поэтому всего в фигуре А содержится примерно

6 + 10 :2 = 6 + 5 = 11 квадратных единиц (6 2 .

2. Наложи кальку на клетчатуб бумагу и сделай палетку . Нарисуй на листе бумаги какую-нибудь замкнутую линию и найди приближенно площадь фигуры, ограниченной этой линией.

3. Начерти циркулем окружность радиусом 4 см и найди с помощью палетки площадь получившегося круга.

4. Виктормна "Хочу все знать".

а) На островах Тихого океана живут черепахи-гиганты. Они такой величины, что дети могут кататься, сидя у них на панцире. Расшифруй название самой крупной в мире черепахи, расположив ответы примеров в порядке убывания.

б) Эта черепаха прекрасно плавает, ее конечности превратились в ласты. Найди массу черепахи-гиганта в килограммах, сосчитав сумму корней двух уравнений:

(х • 6 — 956) : 4 = 70 328 — (у + 6) : 4 = 228.

в) Вырази массу черепахи в центнерах, в граммах. Какие еще единицы массы ты знаешь?

б) Вырази в новых единицах счета и измерения:

Что ты замечаешь?

6. Придумай выражения, значение которых равно 96.

7. Придумай задачу, которая решается так: а + а • 3 + (а — 5).

8. а) Из деревни Годуново в Москву выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч. Расстояние от Годунова до Москвы равно 120 км. Покажи движение велосипедиста на числовом луче и определи, на каком расстоянии от Годунова и от Москвы был он через 3 ч после выезда? Через 7 ч? Через сколько времени он прибыл в Москву?

б) Пусть S км — расстояние, пройденное велосипедистом, а d км — его расстояние до Москвы. Заполни таблицу и запиши формулы, выражаюш,ие зависимость величин s и d от времени t. Какие значения может принимать в этих формулах переменная t?

9. Автобус проехал расстояние 480 км за 8 ч. За сколько времени пройдет это расстояние автомобиль, скорость которого на 36 км/ч больше скорости автобуса? С какой скоростью надо ехать, чтобы преодолеть это расстояние за 4 часа?

10. а) 90 412 — 128 • 84 : (6040 — 5848) • 370 + 53 878 • 0;

б) 4800 • 74 — (506 — 399) • 301 + 30 075 : 15 • 42.

11*. Для каждой фигуры на рисунке объясни, почему она лишняя:

Петерсон Людмила Георгиевна. Математика. 4 класс. Часть 1. — М.: Издательство "Ювента", 2005, — 64 с.: ил.

Календарно-тематическое планирование по математике, задачи и ответы школьнику онлайн, курсы учителю по математике скачать

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь — Образовательный форум.

Цели урока:

  1. Закрепить умение находить площадь прямоугольника и квадрата.
  2. Учить искать приближённое значение площади фигур с помощью палетки, построить соответствующий алгоритм действий.
  3. Развивать критическое мышление, речь, воображение, интерес к математике.

Оборудование урока:

  1. Демонстрационный материал (палетка с кв. дм, фигуры ваз, карточки для устного счёта в виде кв. дм,
  2. Таблицы “Знаю, хочу узнать, узнал”, карточки с фигурами для групповой работы, палетки.

Ход урока

I. Организационный момент.

— Урок математики я начну со стихотворения.

Математика – королева наук!
Без неё не летят корабли,
Без неё не поделить ни акра земли,
Даже хлеба не купишь, рубля не сочтёшь,
Что по чём не узнаешь,
А узнав, не поймёшь.

— Для чего мы изучаем эту науку?

— Сегодня на уроке будет очень интересный, но трудный материал. И подготовиться к его изучению нам поможет устный счёт.

II. Стадия вызова.

Устный счёт. Игра “Молчанка”.

(На кв. дм – задания, ученики воспринимают их зрительно, считают устно, записывают в тетрадях ответы).

13 x 6 2 x m = 72
52 : 2 x 8 x : 6 = 70
570 — 450 y + 140 = 500
600 : 5 430 — b = 208
170 x 4 а = 17дм, в = 4дм, Sпр. = ?
а = 11см, Sкв. = ?

— Проверка (один ученик зачитывает ответы, на доске одновременно выкладывается фигура из кв. дм с правильными ответами:

— Найдите среди ответов лишнее число. Почему оно лишнее? (121см 2 , т.к. оно нечётное)

— Какие числа мы называем чётными?

— Какие чётные числа можно получить, используя число 121 и как это можно сделать?

(На доске появляется таблица-опора:

Читайте также:  Расширение для браузера для скачки видео

— На что похожа получившаяся на доске фигура? (цифра 5, обозначение пути или площади).

— Какова площадь этой фигуры? (11дм 2 )

— Слово площадь – многозначное. Какие же значения имеет это слово? Обратимся к словарю Ожегова. (Один ученик зачитывает значения слова площадь.)

— Сегодня мы будем говорить о математическом значении слова площадь.

(На доске появляется кластер. Закрыты все главные слова, кроме слова площадь).

Работа с таблицей “Знаю, хочу узнать, узнал”.

— Вспомним всё, что мы знаем о понятии площадь. Напишите это в первой графе таблицы — “Знаю”.

Знаю Хочу узнать Узнал

— Обсудите всё, что вы написали в парах, … в группах. (Заслушиваются ответы нескольких учеников. В кластере открываются записи в прямоугольниках.)

— Расскажите о площади, используя кластер.

— Что бы вы ещё хотели узнать о площади? Запишите во второй графе таблицы “Знаю, хочу узнать, узнал”.

(Выслушиваются предложения нескольких учеников, которые записываются в краткой форме на доске в графе “Хочу узнать”).

Групповая работа, постановка проблемы.

— Найдите площадь первой фигуры, оцените площадь второй фигуры, найдите площадь третьей фигуры.

Проверка выполненных заданий.

— Какова площадь первой фигуры? (18 см 2 ).

Что значит оценить площадь? (Оценить площадь фигуры – значит найти нижнюю и верхнюю границы значения площади.)

Как находили границы площади? (Нижняя граница – число целых квадратиков внутри фигуры, верхняя граница – число целых квадратиков + число нецелых квадратиков внутри фигуры.)

Кто вычислил площадь третьей фигуры? Как? (Возможно дети делили фигуру на квадраты и оценивали её площадь).

А как сделать так, чтобы при нахождении площади фигуры не разделять её на квадраты, не тратить на это время? (Дети могут предложить воспользоваться уже готовым квадратом, разделённым на квадратные единицы. Учитель показывает такой квадрат, но непрозрачный. )

Возможно с помощью этого приспособления найти площадь фигуры? (Нет, т.к. самой фигуры не видно. Ученики делают вывод о том, что такой квадрат должен быть прозрачным.)

Действительно, существует специальный инструмент, который сэкономит драгоценное время при нахождении площади фигур. Это палетка. ( Демонстрируется палетка, в кластере открывается это слово.)

— Рассмотрите фигуры на доске.

— Как можно сравнить площади этих фигур? Можем ли мы найти точное значение площади

каждой фигуры? Так как мы не можем найти точное значение площади, тогда какое

значение мы можем найти? (приближённое)

Объявление темы урока, постановка учебной задачи.

— “Приближённое вычисление площадей”.

— Задайте вопросы к теме урока. (Вопросы кратко записываются учителем во вторую графу таблицы – “Хочу узнать”.)

— Какова наша учебная задача на этом уроке? (Научиться находить приближённое значение площади фигуры.)

Стадия осмысления.

— Какие шаги нужно сделать, чтобы найти приближённое значение площади каждой вазы?

Составление алгоритма действий.

(На доске открывается вторая шаг алгоритма.)

-Каким должен быть первый шаг? (Наложить палетку на фигуру).

— Сосчитайте число целых клеток внутри фигуры.

— Что сделаем дальше? (Сосчитаем число нецелых клеток внутри фигуры).

— Предположите, какой будет следующий шаг. (Ученики могут предложить два варианта: к числу целых клеток внутри фигуры прибавить число нецелых клеток или к числу целых клеток прибавить число нецелых клеток, делённое на 2, т. к. у нецелых клеток в фигуру входят или половина, или меньшая часть, или большая).

-Проверим свои предположения по учебнику. Почему не подходит первый вариант?

(В алгоритме открывается четвёртый шаг.)

— При каком условии мы можем воспользоваться формулой приближённого вычисления площади? (в – чётное число.)

— Что нужно сделать, если при подсчёте клеток в оказалось нечётным числом? (+или- единицу.)

Стадия рефлексии.

Вычисление площадей демонстрационных фигур.

Самостоятельная практическая работа в группах.

— Вычислите приближённое значение площади четвёртой фигуры с помощью палетки.

Проверка выполненного задания.

Подведение итога, самооценка.

— Прочитайте ещё раз тему нашего урока. Оцените себя с помощью цветового сигнала, на сколько хорошо вы поняли эту тему.

— Запишите в третьей графе таблицы “Знаю, хочу узнать, узнал” всё то новое, что вы узнали сегодня на уроке в соответствии с темой.

— Чтобы обобщить наши знания о площади, воспользуемся синквейном. Вставьте недостающие слова.

  1. Значение S.
  2. Точное, приближённое.
  3. Находить, вычислять, оценивать.
  4. Используют формулы, палетку.
  5. Величина.

Сегодня мы познакомимся с еще одним методом численного интегрирования, методом трапеций. С его помощью мы будем вычислять определенные интегралы с заданной степенью точности. В статье мы опишем суть метода трапеций, разберем, как выводится формула, сравним метод трапеции с методом прямоугольника, запишем оценку абсолютной погрешности метода. Каждый из разделов мы проиллюстрируем примерами для более глубокого понимания материала.

Читайте также:  Функция запекание в мультиварке поларис

Метод трапеций

Предположим, что нам нужно приближенно вычислить определенный интеграл ∫ a b f ( x ) d x , подынтегральная функция которого y = f ( x ) непрерывна на отрезке [ a ; b ] . Для этого разделим отрезок [ a ; b ] на несколько равных интервалов длины h точками a = x 0 x 1 x 2 . . . x n — 1 x n = b . Обозначим количество полученных интервалов как n .

Найдем шаг разбиения: h = b — a n . Определим узлы из равенства x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , n .

На элементарных отрезках рассмотрим подынтегральную функцию x i — 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . , n .

При бесконечном увеличении n сведем все случаи к четырем простейшим вариантам:

Выделим отрезки x i — 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n . Заменим на каждом из графиков функцию y = f ( x ) отрезком прямой, который проходит через точки с координатами x i — 1 ; f x i — 1 и x i ; f x i . Отметим их на рисунках синим цветом.

Возьмем выражение f ( x i — 1 ) + f ( x i ) 2 · h в качестве приближенного значения интеграла ∫ x i — 1 x i f ( x ) d x . Т.е. примем ∫ x i — 1 x i f ( x ) d x ≈ f ( x i — 1 ) + f ( x i ) 2 · h .

Давайте посмотрим, почему метод численного интегрирования, который мы изучаем, носит название метода трапеций. Для этого нам нужно выяснить, что с точки зрения геометрии означает записанное приближенное равенство.

Для того, чтобы вычислить площадь трапеции, необходимо умножить полусуммы ее оснований на высоту. В первом случае площадь криволинейной трапеции примерно равна трапеции с основаниями f ( x i — 1 ) , f ( x i ) высотой h . В четвертом из рассматриваемых нами случаев заданный интеграл ∫ x i — 1 x f ( x ) d x приближенно равен площади трапеции с основаниями — f ( x i — 1 ) , — f ( x i ) и высотой h , которую необходимо взять со знаком « — ». Для того, чтобы вычислить приближенное значение определенного интеграла ∫ x i — 1 x i f ( x ) d x во втором и третьем из рассмотренных случаев, нам необходимо найти разность площадей красной и синей областей, которые мы отметили штриховкой на расположенном ниже рисунке.

Подведем итоги. Суть метода трапеций заключается в следующем: мы можем представить определенный интеграл ∫ a b f ( x ) d x в виде суммы интегралов вида ∫ x i — 1 x i f ( x ) d x на каждом элементарном отрезке и в последующей приближенной замене ∫ x i — 1 x i f ( x ) d x ≈ f ( x i — 1 ) + f ( x i ) 2 · h .

Формула метода трапеций

Вспомним пятое свойство определенного интеграла: ∫ a b f ( x ) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i — 1 x i f ( x ) d x . Для того, чтобы получить формулу метода трапеций, необходимо вместо интегралов ∫ x i — 1 x i f ( x ) d x подставить их приближенные значения: ∫ x i — 1 x i f ( x ) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i — 1 x i f ( x ) d x ≈ ∑ i = 1 n f ( x i — 1 ) + f ( x i ) 2 · h = = h 2 · ( f ( x 0 ) + f ( x 1 ) + f ( x 1 ) + f ( x 2 ) + f ( x 2 ) + f ( x 3 ) + . . . + f ( x n ) ) = = h 2 · f ( x 0 ) + 2 ∑ i = 1 n — 1 f ( x i ) + f ( x n ) ⇒ ∫ x i — 1 x i f ( x ) d x ≈ h 2 · f ( x 0 ) + 2 ∑ i = 1 n — 1 f ( x i ) + f ( x n )

Формула метода трапеций: ∫ x i — 1 x i f ( x ) d x ≈ h 2 · f ( x 0 ) + 2 ∑ i = 1 n — 1 f ( x i ) + f ( x n )

Оценка абсолютной погрешности метода трапеций

Оценим абсолютную погрешность метода трапеций следующим образом:

δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f » ( x ) · n · h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f » ( x ) · b — a 3 12 n 2

Графическая иллюстрация метода трапеций

Графическая иллюстрация метода трапеций приведена на рисунке:

Примеры вычислений

Разберем примеры использования метода трапеций для приближенного вычисления определенных интегралов. Особое внимание уделим двум разновидностям заданий:

  • вычисление определенного интеграла методом трапеций для данного числа разбиения отрезка n;
  • нахождение приближенного значения определенного интеграла с оговоренной точностью.

При заданном n все промежуточные вычисления необходимо проводить с достаточно высокой степенью точности. Точность вычислений должна быть те выше, чем больше n .

Если мы имеем заданную точность вычисления определенного интеграла, то все промежуточные вычисления необходимо проводить на два и более порядков точнее. Например, если задана точность до 0 , 01 , то промежуточные вычисления мы проводим с точностью до 0 , 0001 или 0 , 00001 . При больших n промежуточные вычисления необходимо проводить с еще более высокой точностью.

Рассмотрим приведенное выше правило на примере. Для этого сравним значения определенного интеграла, вычисленного по формуле Ньютона-Лейбница и полученного по методу трапеций.

Итак, ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 7 a r c t g ( x ) 0 5 = 7 a r c t g 5 ≈ 9 , 613805 .

Вычислим по методу трапеций определенный интеграл ∫ 0 5 7 x 2 + 1 d x для n равным 10 .

Решение

Формула метода трапеций имеет вид ∫ x i — 1 x i f ( x ) d x ≈ h 2 · f ( x 0 ) + 2 ∑ i = 1 n — 1 f ( x i ) + f ( x n )

Для того, чтобы применить формулу, нам необходимо вычислить шаг h по формуле h = b — a n , определить узлы x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , n , вычислить значения подынтегральной функции f ( x ) = 7 x 2 + 1 .

Шаг разбиения вычисляется следующим образом: h = b — a n = 5 — 0 10 = 0 . 5 . Для вычисления подынтегральной функции в узлах x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , n будем брать четыре знака после запятой:

i = 0 : x 0 = 0 + 0 · 0 . 5 = 0 ⇒ f ( x 0 ) = f ( 0 ) = 7 0 2 + 1 = 7 i = 1 : x 1 = 0 + 1 · 0 . 5 = 0 . 5 ⇒ f ( x 1 ) = f ( 0 . 5 ) = 7 0 , 5 2 + 1 = 5 , 6 . . . i = 10 : x 10 = 0 + 10 · 0 . 5 = 5 ⇒ f ( x 10 ) = f ( 5 ) = 7 5 2 + 1 ≈ 0 , 2692

Внесем результаты вычислений в таблицу:

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x i 0 . 5 1 1 , 5 2 2 , 5 3 3 , 5 4 4 , 5 5
f ( x i ) 7 5 , 6 3 , 5 2 , 1538 1 , 4 0 , 9655 0 , 7 0 , 5283 0 , 4117 0 , 3294 0 , 2692

Подставим полученные значения в формулу метода трапеций: ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 ≈ h 2 · f ( x 0 ) + 2 ∑ i = 1 n — 1 f ( x i ) + f ( x n ) = = 0 , 5 2 · 7 + 2 · 5 , 6 + 3 , 5 + 2 , 1538 + 1 , 4 + 0 , 9655 + 0 , 7 + 0 , 5283 + 0 , 4117 + 0 , 3294 + 0 , 2692 = 9 , 6117

Сравним наши результаты с результатами, вычисленными по формуле Ньютона-Лейбница. Полученные значения совпадают до сотых.

Ответ: ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 9 , 6117

Вычислим по методу трапеций значение определенного интеграла ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x — 1 60 d x с точностью до 0 , 01 .

Решение

Согласно условию задачи a = 1 ; b = 2 , f ( x ) = 1 12 x 4 + 1 3 x — 1 60 ; δ n ≤ 0 , 01 .

Найдем n , которое равно количеству точек разбиения отрезка интегрирования, с помощью неравенства для оценки абсолютной погрешности δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f » ( x ) · ( b — a ) 3 12 n 2 . Сделаем мы это следующим образом: мы найдем значения n , для которых будет выполняться неравенство m a x x ∈ [ a ; b ] f » ( x ) · ( b — a ) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01 . При данных n формула трапеций даст нам приближенное значение определенного интеграла с заданной точностью.

Читайте также:  Exception eolesyserror in module класс не зарегистрирован

Для начала найдем наибольшее значение модуля второй производной функции на отрезке [ 1 ; 2 ] .

f ‘ ( x ) = 1 12 x 4 + 1 3 x — 1 60 ‘ = 1 3 x 3 + 1 3 ⇒ f » ( x ) = 1 3 x 3 + 1 3 ‘ = x 2

Вторая производная функция является квадратичной параболой f » ( x ) = x 2 . Из ее свойств мы знаем, что она положительная и возрастает на отрезке [ 1 ; 2 ] . В связи с этим m a x x ∈ [ a ; b ] f » ( x ) = f » ( 2 ) = 2 2 = 4 .

В приведенном примере процесс нахождения m a x x ∈ [ a ; b ] f » ( x ) оказался достаточно простым. В сложных случаях для проведения вычислений можно обратиться к наибольшим и наименьшим значениям функции. После рассмотрения данного примера мы приведем альтернативный метод нахождения m a x x ∈ [ a ; b ] f » ( x ) .

Подставим полученное значение в неравенство m a x x ∈ [ a ; b ] f » ( x ) · ( b — a ) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01

4 · ( 2 — 1 ) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01 ⇒ n 2 ≥ 100 3 ⇒ n ≥ 5 , 7735

Количество элементарных интервалов, на которые разбивается отрезок интегрирования n является натуральным числом. Для поведения вычислений возьмем n равное шести. Такое значение n позволит нам достичь заданной точности метода трапеций при минимуме расчетов.

Вычислим шаг: h = b — a n = 2 — 1 6 = 1 6 .

Найдем узлы x i = a + i · h , i = 1 , 0 , . . . , n , определим значения подынтегральной функции в этих узлах:

i = 0 : x 0 = 1 + 0 · 1 6 = 1 ⇒ f ( x 0 ) = f ( 1 ) = 1 12 · 1 4 + 1 3 · 1 — 1 60 = 0 , 4 i = 1 : x 1 = 1 + 1 · 1 6 = 7 6 ⇒ f ( x 1 ) = f 7 6 = 1 12 · 7 6 4 + 1 3 · 7 6 — 1 60 ≈ 0 , 5266 . . . i = 6 : x 10 = 1 + 6 · 1 6 = 2 ⇒ f ( x 6 ) = f ( 2 ) = 1 12 · 2 4 + 1 3 · 2 — 1 60 ≈ 1 , 9833

Результаты вычислений запишем в виде таблицы:

i 1 2 3 4 5 6
x i 1 7 6 4 3 3 2 5 3 11 6 2
f x i 0 , 4 0 , 5266 0 , 6911 0 , 9052 1 , 1819 1 , 5359 1 , 9833

Подставим полученные результаты в формулу трапеций:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x — 1 60 d x ≈ h 2 · f ( x 0 ) + 2 ∑ i = 1 n — 1 f ( x i ) + f ( x n ) = = 1 12 · 0 , 4 + 2 · 0 , 5266 + 0 , 6911 + 0 , 9052 + 1 , 1819 + 1 , 5359 + 1 , 9833 ≈ 1 , 0054

Для проведения сравнения вычислим исходный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x — 1 60 d x = x 5 60 + x 2 6 — x 60 1 2 = 1

Как видим, полученной точности вычислений мы достигли.

Ответ: ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x — 1 60 d x ≈ 1 , 0054

Для подынтегральных функций сложного вида нахождение числа n из неравенства для оценки абсолютной погрешности не всегда просто. В этом случае будет уместен следующий метод.

Обозначим приближенное значение определенного интеграла, которое было получено по методу трапеций для n узлов, как I n . Выберем произвольное число n . По формуле метода трапеций вычислим исходный интеграл при одинарном ( n = 10 ) и удвоенном ( n = 20 ) числе узлов и найдем абсолютную величину разности двух полученных приближенных значений I 20 — I 10 .

Если абсолютная величина разности двух полученных приближенных значений меньше требуемой точности I 20 — I 10 δ n , то мы прекращаем вычисления и выбираем значение I 20 , которое можно округлить до требуемого порядка точности.

Если абсолютная величина разности двух полученных приближенных значений больше требуемой точности, то необходимо повторить действия с удвоенным количеством узлов ( n = 40 ) .

Такой метод требует проведения большого объема вычислений, поэтому разумно использовать вычислительную технику для экономии времени.

Решим с помощью приведенного выше алгоритма задачу. С целью экономии времени опустим промежуточные вычисления по методу трапеций.

Необходимо вычислить определенный интеграл ∫ 0 2 x e x d x по методу трапеций с точностью до 0 , 001 .

Решение

Возьмем n равное 10 и 20 . По формуле трапеций получим I 10 = 8 , 4595380 , I 20 = 8 , 4066906 .

I 20 — I 10 = 8 , 4066906 — 8 , 4595380 = 0 , 0528474 > 0 , 001 , что требует продолжения вычислений.

Возьмем n равное 40 : I 40 = 8 , 3934656 .

I 40 — I 20 = 8 , 3934656 — 8 , 4066906 = 0 , 013225 > 0 , 001 , что также требует продолжения вычислений.

Возьмем n равное 80 : I 80 = 8 , 3901585 .

I 80 — I 40 = 8 , 3901585 — 8 , 3934656 = 0 , 0033071 > 0 , 001 , что требует проведения еще одного удвоения числа узлов.

Возьмем n равное 160 : I 160 = 8 , 3893317 .

I 160 — I 80 = 8 , 3893317 — 8 , 3901585 = 0 , 0008268 0 , 001

Получить приближенное значение исходного интеграла можно округлив I 160 = 8 , 3893317 до тысячных: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8 , 389 .

Для сравнения вычислим исходный определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница: ∫ 0 2 x e x d x = e x · ( x — 1 ) 0 2 = e 2 + 1 ≈ 8 , 3890561 . Требуемая точность достигнута.

Ответ: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8 , 389

Погрешности

Промежуточные вычисления для определения значения определенного интеграла проводят в большинстве своем приближенно. Это значит, что при увеличении n начинает накапливаться вычислительная погрешность.

Сравним оценки абсолютных погрешностей метода трапеций и метода средних прямоугольников:

δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f » ( x ) n · h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f » ( x ) · b — a 3 12 n 2 δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f » ( x ) n · h 3 24 = m a x x ∈ [ a ; b ] f » ( x ) · b — a 3 24 n 2 .

Метод прямоугольников для заданного n при одинаковом объеме вычислительной работы дает вдвое меньшую погрешность. Это делает метод более предпочтительным в тех случаях, когда известны значения функции в средних отрезках элементарных отрезков.

В тех случаях, когда интегрируемые функции задаются не аналитически, а в виде множества значений в узлах, мы можем использовать метод трапеций.

Если сравнивать точность метода трапеций и метода правых и левых прямоугольников, то первый метод превосходит второй в точности результата.

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector