Формула равнозамедленного движения в физике

Формула равнозамедленного движения в физике

Равноускоренное движение

Равноускоренное движение — это движение, при котором вектор ускорения не меняется по модулю и направлению. Примеры такого движения: велосипед, который катится с горки; камень брошенный под углом к горизонту. Равномерное движение — частный случай равноускоренного движения с ускорением, равным нулю.

Рассмотрим случай свободного падения (тело брошено под уголом к горизонту) более подробно. Такое движение можно представить в виде суммы движений относительно вертикальной и горизонтальной осей.

В любой точке траектории на тело действует ускорение свободного падения g → , которое не меняется по величине и всегда направлено в одну сторону.

Вдоль оси X движение равномерное и прямолинейное, а вдоль оси Y — равноускоренное и прямолинейное. Будем рассматривать проекции векторов скорости и ускорения на оси.

Формулы для равноускоренного движения

Формула для скорости при равноускоренном движении:

Здесь v 0 — начальная скорость тела, a = c o n s t — ускорение.

Покажем на графике, что при равноускоренном движении зависимость v ( t ) имеет вид прямой линии.

​​​​​​​

Ускорение можно определить по углу наклона графика скорости. На рисунке выше модуль ускорения равен отношению сторон треугольника ABC.

a = v — v 0 t = B C A C

Чем больше угол β , тем больше наклон (крутизна) графика по отношению к оси времени. Соответственно, тем больше ускорение тела.

Для первого графика: v 0 = — 2 м с ; a = 0 , 5 м с 2 .

Для второго графика: v 0 = 3 м с ; a = — 1 3 м с 2 .

По данному графику можно также вычислить перемещение тела за время t . Как это сделать?

Выделим на графике малый отрезок времени ∆ t . Будем считать, что он настолько мал, что движение за время ∆ t можно считать равномерным движением со скоростью, равной скорости тела в середине промежутка ∆ t . Тогда, перемещение ∆ s за время ∆ t будет равно ∆ s = v ∆ t .

Разобьем все время t на бесконечно малые промежутки ∆ t . Перемещение s за время t равно площади трапеции O D E F .

s = O D + E F 2 O F = v 0 + v 2 t = 2 v 0 + ( v — v 0 ) 2 t .

Мы знаем, что v — v 0 = a t , поэтому окончательная формула для перемещения тела примет вид:

s = v 0 t + a t 2 2

Для того, чтобы найти координату тела в данный момент времени, нужно к начальной координате тела добавить перемещение. Изменение координаты в зависимости от времени выражает закон равноускоренного движения.

Закон равноускоренного движения

y = y 0 + v 0 t + a t 2 2 .

Еще одна распространенная задача кинематики, которая возникает при анализе равноускоренного движения — нахождение координаты при заданных значениях начальной и конечной скоростей и ускорения.

Исключая из записанных выше уравнений t и решая их, получаем:

s = v 2 — v 0 2 2 a .

По известным начальной скорости, ускорению и перемещению можно найти конечную скорость тела:

v = v 0 2 + 2 a s .

При v 0 = 0 s = v 2 2 a и v = 2 a s

Величины v , v 0 , a , y 0 , s , входящие в выражения, являются алгебраическими величинами. В зависимости от характера движения и направления координатных осей в условиях конкретной задачи они могут принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Равнопеременным прямолинейным движением материальной точки (тела) называют движение, скорость которого за любые равные промежутки времени

∆ t 1 = ∆ t 2 = . = ∆ t n

изменяется соответственно на равные величины

a = Δ v 1 Δ t 1 = Δ v 2 Δ t 2 = . = Δ v n Δ t n .

Векторную физическую величину, характеризующую быстроту изменения скорости, численно равную отношению изменения скорости ко времени, за которое это изменение произошло:

называют ускорением . В Международной системе единиц ускорение измеряется в метрах в секунду за секунду (1 м/с 2 ).

Траекторией материальной точки при равнопеременном прямолинейном движении является прямая линия.

Различают два вида равнопеременного прямолинейного движения: равноускоренное прямолинейное движение и равнозамедленное прямолинейное движение.

Скорость материальной точки при равнопеременном движении изменяется по закону:

v → ( t ) = v → 0 + a → t ,

где v → ( t ) — вектор скорости точки в произвольный момент времени t ; v → 0 — вектор ее начальной скорости; a → — вектор ускорения.

Модуль скорости при равнопеременном движении может как увеличиваться (равноускоренное движение), так и уменьшаться (равнозамедленное движение).

Уравнение движения материальной точки при равнопеременном прямолинейном движении записывается в виде:

r → ( t ) = r → 0 + v → 0 t + a → t 2 2 ,

где r → ( t ) — радиус-вектор положения точки в произвольный момент времени t ; r → 0 — радиус-вектор начального положения материальной точки.

Если равнопеременное прямолинейное движение материальной точки (тела) происходит вдоль одной из координатных осей (например, Ox ), то уравнение движения целесообразно записывать в виде:

x ( t ) = x 0 + v 0 x t + a x t 2 2 ,

а закон изменения (проекции) скорости с течением времени —

v x ( t ) = v 0 x + a x t ,

где x ( t ) — зависимость координаты от времени; x 0 — значение координаты в начальный момент времени ( t = 0); v 0 x — проекция начальной скорости материальной точки (тела) на координатную ось Ox ; a x — проекция ускорения на данную ось.

Равноускоренное прямолинейное движение

Равноускоренным прямолинейным движением называют движение, скорость которого за любые равные промежутки времени увеличивается на равные величины. Векторы скорости v → и ускорения a → при таком движении имеют одинаковые направления:

Читайте также:  Как избавиться от черных пятен на экране

Равноускоренное прямолинейное движение материальной точки целесообразно рассматривать вдоль одной из координатных осей, например Ox .

Если при равноускоренном прямолинейном движении вектор начальной скорости (а значит, и ускорения) материальной точки совпадает с положительным направлением оси Ox (проекции скорости и ускорения положительные),

то уравнение движения принимает вид (рис. 1.4):

x ( t ) = x 0 + v 0 t + a t 2 2 ,

а закон изменения (проекции) скорости с течением времени —

v x ( t ) = v 0 + at ,

где x ( t ) — зависимость координаты от времени; x 0 — значение координаты в начальный момент времени ( t = 0); v 0 x — проекция начальной скорости материальной точки (тела) на координатную ось Ox ; a x — проекция ускорения на данную ось.

Если при равноускоренном прямолинейном движении вектор начальной скорости (а значит, и ускорения) материальной точки совпадает с отрицательным направлением оси Ox (проекции скорости и ускорения отрицательные),

то уравнение движения выглядит следующим образом (рис. 1.5):

x ( t ) = x 0 − v 0 t − a t 2 2 ,

а закон изменения (проекции) скорости с течением времени —

v x ( t ) = − v 0 − at ,

где x ( t ) — зависимость координаты от времени; x 0 — значение координаты в начальный момент времени ( t = 0); v 0 x — проекция начальной скорости материальной точки (тела) на координатную ось Ox ; a x — проекция ускорения на данную ось.

При равноускоренном прямолинейном движении модуль вектора перемещения и пройденный материальной точкой ( телом ) путь совпадают и могут быть вычислены с помощью формулы

| Δ r → ( t ) | = S ( t ) = v 0 t + a t 2 2

S = v 2 − v 0 2 2 a ,

где v 0 — модуль скорости в начале временного интервала; v — модуль скорости в конце временного интервала; a — модуль ускорения.

Путь, пройденный материальной точкой при равноускоренном прямолинейном движении за n секунд:

S ( n ) = v 0 n + a n 2 2 ,

где v 0 — модуль скорости в начале временного интервала; a — модуль ускорения;

и путь, пройденный за n -ю секунду, отличаются (рис. 1.6).

Путь, пройденный за n -ю секунду, может быть найден как разность:

S n = S ( n ) − S ( n − 1 ) ,

где S ( n ) = v 0 n + a n 2 2 — путь, пройденный за n секунд; S ( n − 1 ) = v 0 ( n − 1 ) + a ( n − 1 ) 2 2 — путь, пройденный за ( n − 1) секунд.

При равноускоренном прямолинейном движении без начальной скорости путь, пройденный телом за n -ю секунду, рассчитывается по формуле

S n = a ( 2 n − 1 ) 2 = ( n − 0,5 ) a ,

где a — модуль ускорения.

Равнозамедленное прямолинейное движение

Равнозамедленным прямолинейным движением называют движение, скорость которого за любые равные промежутки времени уменьшается на равные величины. Вектор скорости v → и вектор ускорения a → при таком движении имеют противоположные направления:

Равнозамедленное прямолинейное движение материальной точки целесообразно рассматривать вдоль одной из координатных осей, например Ox .

Если при равнозамедленном прямолинейном движении вектор начальной скорости материальной точки совпадает с положительным направлением оси Ox , то вектор ее ускорения имеет направление, противоположное указанной оси (рис. 1.7).

Уравнение движения в этом случае имеет вид:

x ( t ) = x 0 + v 0 t − a t 2 2 ,

а закон изменения (проекции) скорости с течением времени —

v x ( t ) = v 0 − at ,

где x ( t ) — зависимость координаты от времени; x 0 — значение координаты в начальный момент времени ( t = 0); v 0 x — проекция начальной скорости материальной точки (тела) на координатную ось Ox ; a x — проекция ускорения на данную ось.

Если при равнозамедленном прямолинейном движении вектор начальной скорости материальной точки совпадает с отрицательным направлением оси Ox (проекция начальной скорости отрицательная), то вектор ее ускорения направлен в положительном направлении указанной оси (проекция ускорения положительная) (рис. 1.8).

Уравнение движения выглядит следующим образом:

x ( t ) = x 0 − v 0 t + a t 2 2 ,

а закон изменения (проекции) скорости с течением времени —

v x ( t ) = − v 0 + at ,

где x ( t ) — зависимость координаты от времени; x 0 — значение координаты в начальный момент времени ( t = 0); v 0 x — проекция начальной скорости материальной точки (тела) на координатную ось Ox ; a x — проекция ускорения на данную ось.

При равнозамедленном прямолинейном движении существует точка остановки (точка поворота), где скорость обращается в нуль; ей соответствует момент времени τ ост , который определяется из условия v (τ ост ) = 0:

До точки остановки тело движется равнозамедленно (в ту сторону, куда направлен вектор начальной скорости v → 0 ).

После точки остановки тело разворачивается и движется в противоположном направлении равноускоренно с нулевой начальной скоростью.

Путь , пройденный материальной точкой (телом) за определенный интервал времени при равнозамедленном прямолинейном движении, вычисляют по-разному в зависимости от того, содержит ли данный интервал точку остановки.

Если точка остановки не попадает в указанный интервал времени, то пройденный путь определяют как

S ( t ) = v 0 t − a t 2 2 или S = v 0 2 − v 2 2 a ,

где v 0 — модуль скорости в начале временного интервала; v — модуль скорости в конце временного интервала; a — модуль ускорения.

Если точка остановки попадает в указанный интервал времени, то пройденный путь определяют как сумму:

S ( t ) = S 1 + S 2 ,

где S 1 — путь, пройденный материальной точкой за интервал времени от t 1 до τ ост ; S 2 — путь, пройденный материальной точкой за интервал времени от τ ост до t 2 (рис. 1.9):

Читайте также:  Rs 485 через ethernet

S 1 = | x ( τ ост ) − x ( t 1 ) | ; S 2 = | x ( t 2 ) − x ( τ ост ) | ,

где x ( t 1 ) — координата материальной точки в момент времени t 1 ; x ( t 2 ) — координата точки в момент времени t 2 ; x (τ ост ) — координата точки в момент времени τ ост .

При равнозамедленном прямолинейном движении модуль вектора перемещения материальной точки удобно вычислять как разность координат (рис. 1.10):

| Δ r → ( t ) | = | x ( t 2 ) − x ( t 1 ) | ,

где x ( t 1 ) — координата материальной точки в момент времени t 1 ; x ( t 2 ) — координата точки в момент времени t 2 ; x (τ ост ) — координата точки в момент времени τ ост .

Пример 1. Материальная точка движется вдоль оси Ox . Проекция ее скорости с течением времени меняется по закону v = 12 − 4,0 t , где скорость задана в метрах в секунду, время — в секундах. Определить модуль перемещения материальной точки за интервал времени от 2,0 с до 4,0 с.

Решение. При равнопеременном движении зависимость проекции скорости от времени имеет вид:

v x = v 0 x + a x t ,

где v 0 x = 12 м/с — проекция начальной скорости; a x = −4,0 м/с 2 — проекция ускорения на указанную координатную ось.

Запишем уравнение движения материальной точки:

x ( t ) = x 0 + v 0 x t + a x t 2 2 = x 0 + 12 t − 2,0 t 2 ,

где x 0 — начальная координата точки.

Вычислим координаты материальной точки в моменты времени t 1 = 2,0 c и t 2 = 4,0 c. Для этого подставим в уравнение движения значения t 1 и t 2 :

x ( t 1 ) = x 0 + 12 t 1 − 2 t 1 2 = x 0 + 12 ⋅ 2,0 − 2 ⋅ ( 2,0 ) 2 = x 0 + 16 ,

x ( t 2 ) = x 0 + 12 t 2 − 2 t 2 2 = x 0 + 12 ⋅ 4,0 − 2 ⋅ ( 4,0 ) 2 = x 0 + 16 .

Модуль перемещения материальной точки вычислим как разность координат:

| Δ r → | = | x ( t 2 ) − x ( t 1 ) | = 0 .

Перемещение материальной точки равно нулю, т.е. она возвратилась в то место на координатной оси, где находилась в момент времени t 1 = 2,0 c.

Пример 2. Материальная точка движется вдоль оси Ox . Проекция ее скорости с течением времени меняется по закону v = 9,0 − 1,5 t , где скорость задана в метрах в секунду, время — в секундах. Определить путь, пройденный материальной точкой за интервал времени от 4,0 с до 7,0 с.

Решение. При равнопеременном движении зависимость проекции скорости от времени имеет вид:

v x = v 0 x + a x t ,

где v 0 x = 9,0 м/с — проекция начальной скорости; a x = −1,5 м/с 2 — проекция ускорения на указанную координатную ось.

Запишем уравнение движения материальной точки:

x ( t ) = x 0 + v 0 x t + a x t 2 2 = x 0 + 9,0 t − 0,75 t 2 ,

где x 0 — начальная координата точки.

Точка остановки, вычисленная по формуле

τ ост = v 0 a = 9,0 1,5 = 6,0 c,

попадает в интервал времени, указанный в условии задачи.

В интервале времени от t1 = 4,0 c до τост = 6,0 с точка движется равнозамедленно. Следовательно, пройденный путь вычисляем по формуле

S 1 = | x ( τ ост ) − x ( t 1 ) | ,

x ( τ ост ) = x 0 + 9,0 τ ост − 0,75 τ ост 2 =

= x 0 + 9,0 ⋅ 6,0 − 0,75 ⋅ ( 6,0 ) 2 = ( x 0 + 27 ) м;

x ( t 1 ) = x 0 + 9,0 t 1 − 0,75 t 1 2 = x 0 + 9,0 ⋅ 4,0 − 0,75 ⋅ ( 4,0 ) 2 = ( x 0 + 24 ) м.

Таким образом, путь S1, пройденный материальной точкой в указанном интервале времени, равен:

S 1 = | x ( τ ост ) − x ( t 1 ) | = | ( x 0 + 27 ) − ( x 0 + 24 ) | = 3,0 м.

В интервале времени от τост = 6,0 с до t2 = 7,0 c точка движется равноускоренно. Следовательно, пройденный путь вычисляем по формуле

S 1 = | x ( t 2 ) − x ( τ ост ) | ,

x ( τ ост ) = x 0 + 9,0 τ ост − 0,75 τ ост 2 =

= x 0 + 9,0 ⋅ 6,0 − 0,75 ⋅ ( 6,0 ) 2 = ( x 0 + 27 ) м;

x ( t 2 ) = x 0 + 9,0 t 2 − 0,75 t 2 2 =

= x 0 + 9,0 ⋅ 7,0 − 0,75 ⋅ ( 7,0 ) 2 = ( x 0 + 26,25 ) м.

Таким образом, путь S 2 , пройденный материальной точкой в указанном интервале времени, равен:

S 2 = | x ( t 2 ) − x ( τ ост ) | = | ( x 0 + 26,25 ) − ( x 0 + 27 ) | = 0,75 м ≈ 0,8 м.

Суммарный путь S , пройденный материальной точкой в интервале времени от 4,0 с до 7,0 с, составляет

S = S 1 + S 2 ≈ 3,0 + 0,8 = 3,8 м.

Пример 3. Тело движется по прямой и в начале пути имеет скорость 3 м/с. Пройдя некоторое расстояние, тело приобретает скорость 9 м/с. Считая движение тела равноускоренным, определить его скорость на половине указанного расстояния.

Решение. В условии задачи нет указаний на время движения тела. Поэтому для вычисления пройденного пути целесообразно воспользоваться формулой, не содержащей время движения, т.е.

S = v 2 − v 0 2 2 a ,

где v 0 — модуль скорости материальной точки в начале пути; v — модуль ее скорости в конце пути; a — модуль ускорения.

Разобьем путь на два равных участка S 1 = S /2 и S 2 = S /2, обозначив величину скорости в начале первого участка v 0 , в конце второго участка — v к , в конце первого (начале второго) участка пути — v , как показано на рисунке.

Запишем указанную формулу дважды:

Читайте также:  Как передать видео с телефона на телефон

    для первого участка пути —

S 1 = v 2 − v 0 2 2 a ;

для второго участка пути —

S 2 = v к 2 − v 2 2 a ,

где v 0 = 3 м/с; v к = 9 м/с.

Отношение уравнений дает равенство

S 1 S 2 = v 2 − v 0 2 2 a ⋅ 2 a v к 2 − v 2 = v 2 − v 0 2 v к 2 − v 2 = 1 ,

позволяющее вычислить величину искомой скорости:

При равнозамедленном прямолинейном движении

Графиком является парабола

Физический смысл правой части параболы — уменьшение координаты соответствует движению тела в обратном направлении.

Равнопеременное прямолинейное движение – движение с постоянным по модулю и направлению ускорением

= const

Зависимость скорости от времени при равноускоренном и равнозамедленном движении можно рассматривать как частные случаи равнопеременного движения

Закон равнопеременного движения :

Проекции скоростей и ускорений могут быть как положительными, так и отрицательными.

СВОБОДНОЕ ПАДЕНИЕ ТЕЛ (уч.10кл.стр.52-55)

Определение свободного падения тел. Опыты Галилея, Бойля, Гюйгенса

Ускорение свободного падения (см.ниже уч.10кл.)

Падение тел в воздухе. Сопротивление воздуха.

Свободное падение без начальной скорости. Формулы.

Формулы времени м скорости падения с высоты.

Формулы времени, максимальной высоты при бросании тела вверх с начальной скоростью.

Формулы баллистики. (уч.10кл.стр.61-68)

Все тела независимо от их массы в отсутствии сил сопротивления воздуха падают на землю с одинаковым ускорением, называемым ускорением свободного падения.

Впервые это экспериментально доказал Галилео Галилей. Из-за отсутствия точных часов для измерения малых промежутков времени при падении тел он исследовал скольжение шаров с наклонной плоскости.

При любом угле наклона плоскости расстояние, проходимое шаром, пропорционально квадрату времени движения.

Выводы Галилея были подтверждены англичанином Робертом Бойлем, исследовавшим падение тел в сосуде, из которого был откачан воздух.

Ускорение тел при падении на землю впервые измерил Кристиан Гюйгенс в 1656 г. с помощью маятниковых часов.

Вблизи поверхности Земли g = 9.81 м/с2

Закон свободного падения хорошо наблюдать на луне, где нет атмосферы

При свободном падении без начальной скорости (точка отсчета в точке начала падения)

Время падения тела на землю t =

Скорость у земли : vy = gt = g=

В поле силы тяжести тело движется с постоянным ускорением, т.е. равнопеременно, независимо от начальной скорости тела и ее направления

УСКОРЕНИЕ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ (уч.10кл.стр.52-53)

Свободное падение тел (см. выше)

Величина ускорение свободного падения.

Зависимость ускорения от силы тяжести согласно закону всемирного тяготения

Ускорение тел при падении на землю впервые измерил Кристиан Гюйгенс в 1656 г. с помощью маятниковых часов.

Вблизи поверхности Земли g = 9.81 м/с2

С высотой g изменяется

В поле силы тяжести тело движется с постоянным ускорением, т.е. равнопеременно, независимо от начальной скорости тела и ее направления

Траектория движение в поле силы тяжести

Уравнение баллистического движения

Максимумы графика баллистического движения

Дальность полета при баллистическом движении

Скорость при баллистическом движении

Баллистическое движение при сопротивлении среды

Баллистика – раздел механики, изучающий движение тел в поле тяжести земли.

Основные допущения при рассмотрении баллистического движения:

— тело – материальная точка

— движение тела рассматривается вблизи поверхности Земли, когда высота подъема тела мала по сравнению с радиусом Земли

— сопротивление воздуха не учитывается

В Евклидовом физическом пространстве перемещение тела по координатным осям X и Y можно рассматривать независимо.

Криволинейное баллистическое движение можно рассматривать как результат сложения двух прямолинейных движений: равномерного движения по оси X и равнопеременного по оси Y (под действием ускорения g)

Закон баллистического движения в координатной форме:

Þ y = x tg(α) —

Графиком баллистического движения в поле силы тяжести является парабола, проходящая через начало координат.

Время подъема на максимальную высоту (максимум функции y(t)):

Максимальная высота подъема:

Максимальная дальность полета ( учитывая симметричность параболы и что 2sin(α)cos(α)=sin(2α)):

Дальность полета при одной и той же начальной скорости зависит от угла, под которым тело брошено к горизонту.

Максимальное значение синуса будет при угле 2α = 90о, следовательно максимальная дальность полета будет при угле: α = 45о

В отсутствии сопротивления воздуха максимальная дальность полета тела в поле силы тяжести достигается при вылете под углом 45о к горизонту.

При α = 45о + β – навесная траектория

При α = 45о — β – настильная траектория

Дальность полета при этом одинаковая

Для расчета скорости в произвольной точке траектории (направлена по касательной к траектории), и для определения угла β, который образует вектор скорости в горизонтом, достаточно знать проекции скорости на оси X и Y:

v = (по теореме Пифагора из треугольника скоростей)

При равномерном движении по оси X проекция скорости остается постоянной:

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector