Формулы виета для многочленов n ой степени

Формулы виета для многочленов n ой степени

Алгебраические уравнения
Основная теорема алгебры. Разложение многочленов на линейные множители в комплексной области
Разложение на множители многочленов с действительными коэффициентами
Теорема (формулы) Виета

Алгебраические уравнения

Пусть n – произвольное натуральное число. Рассмотрим многочлен n – ой степени от переменной x

Pn (x) =
= a x n + a1 x n –1 +
+ … + an –1 x + an ,
(1)
a , a1 , … , an –1 , an (2)

Заметим, что в этом случае коэффициент a отличен от нуля, и введем следующее определение.

Определение 1 . Алгебраическим уравнением степени n с неизвестным x называют уравнение вида

Pn (x) = 0 . (3)

Определение 2 . Корнем уравнения (3) называют вещественное или комплексное число α , для которого

Определение 3 . Число α называют корнем кратности k уравнения (3), если справедливо равенство

.

Разложение многочленов на множители в комплексной области

Основная теорема алгебры (теорема Гаусса) утверждает, что любое алгебраическое уравнение вида (3) имеет n корней, при условии, что каждый корень считается столько раз, какова его кратность.

– полный набор корней уравнения (3), а

– их кратности, то, во-первых,

а, во-вторых, справедливо равенство

Замечание . Линейными множителями называют многочлены первой степени

входящие в формулу (4), а саму формулу (4) называют формулой разложения многочленов на линейные множители в комплексной области .

Разложение на множители многочленов с действительными коэффициентами

Рассмотрим теперь многочлены степени , все коэффициенты которых являются вещественными числами.

Тогда справедливо следующее

Утверждение . Если комплексное число

является корнем кратности ls многочлена с вещественными коэффициентами, то и комплексно сопряженное число

является корнем этого многочлена, причем тоже кратности ls .

Из утверждения вытекает, что в разложение (4) степень каждого бинома, содержащая комплексный корень zs и имеющая вид

входит в паре со степенью бинома, содержащей комплексно сопряженный корень и имеющей вид

то произведение каждой пары биномов (5) и (6), входящей в формулу (4), даёт степень квадратного трехчлена с вещественными коэффициентами:

Следствие . Каждый многочлен ненулевой степени, коэффициенты которого являются вещественными числами, разлагается на множители, являющиеся многочленами с вещественными коэффициентами первой или второй степени.

Пример . Разложить на множители многочлен четвертой степени

Читайте также:  Телефон хонор на 2 сим карты

Теорема (формулы) Виета

Снова рассмотрим уравнение n – ой степени от переменной x

и, немного изменив предыдущие обозначения, предположим, что

z1 , z2 , … , zn –1 , zn (8)

— его корни, причем в записи (8) каждый корень взят столько раз, какова его кратность.

Тогда из формулы (4) вытекают следующие равенства, которые называют формулами Виета для уравнения n – ой степени :

Эти равенства называются формулами Виета.

Выпишем их отдельно для многочленов второго, третьего и четвертого порядков.

Формулы Виета для квадратного многочлена

Для квадратного многочлена ax 2 + bx + c

Формулы Виета для квадратного многочлена позволяют подбирать его целочисленные корни (если они существуют), не решая квадратного уравнения.

Калькуляторы для решение примеров и задач по математике

Лучшие математические приложения для школьников и их родителей, студентов и учителей. Подробнее .

Пример 1. Разложить на множители квадратный трехчлен x 2 — 2012x + 2011.

Легко видеть, что x = 1 является корнем трехчлена. Убеждаемся в этом простой подстановкой. По формуле Виета

= 2011 1*x2 = 2011 x2 = 2011. Следовательно, x 2 — 2012x + 2011 = (x — 1)(x — 2011).

Ответ: x 2 — 2012x + 2011 = (x — 1)(x — 2011).

Пример 2. Разложить на множители квадратный трехчлен 2012x 2 + 2011x — 1.

Простой подстановкой легко проверяется, что x = -1 является корнем квадратного трехчлена. По формуле Виета

Следовательно, 2012x 2 + 2011x — 1= 2012(x + 1)(x —

Ответ: 2012x 2 + 2011x — 1= 2012(x + 1)(x —

Таким образом, очень часто формулы Виета позволяют быстро подобрать целые корни квадратного трехчлена, не проводя громоздких вычислений. Кроме того, по коэффициентам трехчлена можно сделать выводы о знаках корней уравнения. Например, если корни трехчлена существуют, и

> 0, то или оба корня положительны, или оба отрицательны.

Пример 3. Определить знаки корней уравнения 5x 2 — 33x + 10 = 0, не решая его.

Дискриминант уравнения D = b 2 — 4ac = 33 2 — 4*5*10 > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня. По формулам Виета

Читайте также:  Установка play market на meizu

То есть x1x2 > 0, значит оба корня имеют одинаковый знак. Но сумма корней > 0, следовательно, оба корня положительные числа.

Ответ: Уравнение имеет два положительных корня.

Кроме того, формулы Виета позволяют быстро проверить, является ли заданный набор чисел корнями многочлена. В общем, формулы Виета – это очень полезный инструмент в решении самых разных задач с многочленами. Эти формулы для квадратного трехчлена даже изложены в стихах неизвестным автором:

По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи постоянства такого:
Умножишь ты корни — и дробь уж готова:
В числителе c, в знаменателе a,
А сумма корней тоже дроби равна
Хоть с минусом дробь эта, что за беда
В числителе b, в знаменателе a.

Выпишем формулы Виета для многочлена третьего и четвертого порядков.

Возвратные уравнения.

называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, то есть если

Рассмотрим возвратное уравнение четвёртой степени вида

ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0,

где a, b и c — некоторые числа, причём a ¹ 0. Его удобно решать с помощью следующего алгоритма:

  • разделить левую и правую части уравнения на x 2 . При этом не происходит потери решения, так как x = 0 не является корнем исходного уравнения при a ¹ 0;
  • группировкой привести полученное уравнение к виду

a(x 2 + 1 / x 2 ) + b(x + 1 / x) + c = 0;

  • ввести новую переменную t = x + 1 / x, тогда выполнено

t 2 = x 2 + 2 + 1 / x 2 , то есть x 2 + 1 / x 2 = t 2 – 2;

в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным:

at 2 + bt + c – 2a = 0;

  • решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной.

Для возвратных уравнений более высоких степеней верны следующие утверждения.

Возвратное уравнение чётной степени сводится к уравнению вдвое меньшей степени подстановкой

Возвратное уравнение нечётной степени обязательно имеет корень x= -1 и после деления многочлена, стоящего в левой части этого уравнения, на двучлен x + 1, приводится к возвратному уравнению чётной степени.

Пример 4.21. Рассмотрим, например, возвратное уравнение пятой степени

Читайте также:  Stray end tag div

ax 5 + bx 4 + cx 3 + cx 2 + bx + a = 0

Легко видеть, что x = – 1 является корнем этого уравнения, а потому по теореме Безу многочлен в левой части уравнения делится на x + 1. В результате такого деления получится возвратное уравнение четвёртой степени.

Довольно часто в процессе решения задач вступительных экзаменов возникают рациональные уравнения степени выше второй, которые не удаётся решить с помощью очевидной замены переменной. В этом случае попытайтесь отгадать какой-нибудь корень уравнения. Если попытка окажется успешной, то Вы воспользуетесь следствием 1 теоремы Безу и понизите на единицу степень исходного уравнения. “Кандидатов” в корни многочлена с целочисленными коэффициентами следует искать среди делителей свободного члена этого многочлена. Если же попытка угадать корни не удалась, то, возможно, Вы избрали “не тот” метод решения, и существует иной метод, реализация которого не требует решения уравнения третьей или большей степени.

Пусть многочлен P (x) = ax n + a1x n – 1 + … + an

имеет n различных корней X1, X2, …, Xn. В этом случае он имеет разложение на множители вида

Разделим обе части этого равенства на a ¹ 0 и раскроем скобки. Получим равенство

Но два многочлена тождественно равны в том и только в том случае, когда коэффициенты при одинаковых степенях равны. Отсюда следует, что выполняются равенства

Пример 5.22. Напишем кубическое уравнение, корни которого являются квадратами корней уравнения x 3 – 3x 2 + 7x + 5 = 0.

Решение. Обозначим корни заданного уравнения через x1, x2 и x3. Тогда по формулам Виета имеем

Корни искомого уравнения обозначим буквами y1, y2, y3, а его коэффициенты — буквами b1, b2, b3, положив коэффициент при y3 равным 1. По условию должны выполняться равенства y1 = x1 2 , y2 = x2 2 , y3 = x3 2 и поэтому

Значит, b1 = 5, b2 = 79, b3 = – 25, и потому искомое уравнение имеет вид

y 3 + 5y 2 + 79y – 25 = 0.

Ответ: y 3 + 5y 2 + 79y – 25 = 0.

Дата добавления: 2015-05-10 ; Просмотров: 2696 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector