Эскизы графиков функций примеры

Эскизы графиков функций примеры

ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ

Учебно-методическое пообие для вузов

Воронежского государственного университета

Утверждено научно-методическим советом факультета прикладной математики, информатики и механики 25 мая 2011 г., протокол № 10.

Рецензент д-р физ. мат. наук, профессор А. Д. Баев

Учебно-методическое пособие по дисциплине "Математический анализ" подготовлено на кафедре математического и прикладного анализа факультета прикладной математики, информатики и механики Воронежского государственного университета

Рекомендуется для студентов первого курса очной и очно-заочной форм обучения

Для направлений 010400.62 "Прикладная математика и информатика", 010300.62 "Фундаментальная информатика и информационные технологии", 010500 "Математическое обеспечение и администрирование информационных систем", 080500.62 "Бизнес-информатика", 010800.62 "Механика и математическое моделирование".

Оглавление

Часть 1. Построение эскизов графиков функций. 4

1. Графики основных элементарных функций……………………………………. 4

1.1. Постоянная и степенная функции. 5

1.2. Показательная и логарифическая функции. 8

1.3. Тригонометрические функции. 9

1.4. Обратные тригонометрические функции. 11

2. Элементарные преобразования графиков……………………………………… 12

3. Построение графиков функций, не являющихся элементарными……………. 16

4. Действия с графиками функций………………………………………………… 19

4.1. Сложение и вычитание графиков. 19

4.2. Умножение и деление графиков. 22

4.3. Построение графиков сложных функций. 28

5. Графики в полярных координатах……………………………………………… 32

5.1. Полярные координаты.. 32

5.2. Графики кривых в полярных координатах. 33

Часть 2. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций и построению их графиков. 38

1. Признак возрастания и убывания функции…………………………………….. 38

2. Локальные экстремумы функции……………………………………………….. 39

3. Выпуклость функции. Точки перегиба…………………………………………. 43

5. Порядок построения графика функции, заданной выражением …….. 49

6. Построение графика функции, заданной параметрически……………………. 53

6.1. Порядок построения графика параметрически заданной функции. 53

6. 2. Асимптоты параметрического графика. 54

6. 3. Точки перегиба. 54

6.4. Пример построения графика параметрически заданной функции. 55

Список литературы.. 58

Введение

Методическое пособие составлено из двух частей: в первой части рассматривается построение эскизов графиков функций, во второй — построение графиков функций с использованием техники дифференцирования. Для построения эскизов графиков функций применяются следующие приемы: построение "по точкам", действия с графиками (например, сложение, вычитание, умножение графиков), преобразование графиков.

Часть 1. Построение эскизов графиков функций

В этой части мы будем изучать построение графиков функций, используя наименьшее число вычисление и избегая прямого применения дифференциального исчисления. Такие эскизы иллюстрируют общее поведение функции и полезны при решении различных задач.

В первом разделе этой части мы построим графики основных элементарных функций в прямоугольной декартовой системе координат и отметим некоторые особенности поведения этих функций.

Во втором разделе изучим элементарные преобразования графиков функций, таких как параллельный перенос, поворот, зеркальное отображение, растяжение, сжатие и др.

В третьем разделе построим графики некоторых функций, не являющихся элементарными.

В четвертом разделе разберем как производить сложение, вычитание, умножение и деление графиков, а также как строить график сложной функции.

В пятом разделе мы рассмотрим полярную систему координат и построим в ней графики некоторых функций, наиболее часто встречающихся в приложениях.

Тригонометрические функции

Тригонометрические функции и опредены на всей числовой оси, переодические, с периодом и не принимают значения по абсолютной величине большие . Отметим также, что функция является нечетной, а функция — четной. Их графики изображены на рис. 7.

Линия, являющаяся графиком функции , называется синусоидой. График функции — тоже синусоида, она получается из графика смещением вдоль влево на отрезок .

Из рис. 7 видно, что график функции проходит через точку — начало координат, а функция проходит через точку . Графики обеих функций и и пересекают ось неограниченное число раз, это означает, что уравнения и имеют бесконечно много корней. Именно, решение уравнения имеет вид , где — целое число, а решением уравнения будут число , где — целое число.

Рис. 7. Графики функции и .

Тангенс и котангенс выражаются формулами и , а в такой форме записи видно, что графики этих функций будут иметь бесконечно много точек разрыва. Действительно, у в знаменателе находится , который обращается в нуль в точках , а будет иметь разрывы там, где синус равен нулю, т.е. в точках ( — целое число).

Обе функции и и являются нечетными и периодическими с периодом . Графики этих функций приведены на рис. 8.

Рис. 8. Графики функции и .

Список литературы

1. Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах в двух частях, часть I, издание четвертое, исправленное и дополненное // П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. — М: "Высшая школа", 1986.

2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления // Г.М. Фихтенгольц. T.1. — СПб: Лань, 1997.

3. Смирнов В. И. Курс высшей математики // В. И. Смирнов. Т.1. — М: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1974.

Читайте также:  Eps detail html ошибок

4. Савелов А. А. Замечательные кривые // А. А. Савелов. — Томск: Красное знамя, 1938.

5. Савелов А. А. Плоские кривые // А. А. Савелов. — М: ГИФМЛ, 1960.

6. Виноградова И. А. Задачи и упражнения по математическому анализу. В 2-х кн. Кн. 1. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной: Учеб. пособие.– 2-е изд., перераб. / И. А. Виноградова, С. Н. Олехник, В. А. Садовничий. Под ред. В. А. Садовничего. – М: Высш. шк., 2000.

7. Каплан И. А. Практические занятия по высшей математике // И. А. Каплан. — Харьков: изд-во Харьковского ордена трудового красного знамени гос. ун-та им. А. М. Горького, 1967.

8. Харди Г. Х. Курс чистой математики // Г. Х. Харди. — М: гос. изд-во иностр. лит., 1949.

ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ

Учебно-методическое пообие для вузов

Воронежского государственного университета

Утверждено научно-методическим советом факультета прикладной математики, информатики и механики 25 мая 2011 г., протокол № 10.

Рецензент д-р физ. мат. наук, профессор А. Д. Баев

Учебно-методическое пособие по дисциплине "Математический анализ" подготовлено на кафедре математического и прикладного анализа факультета прикладной математики, информатики и механики Воронежского государственного университета

Рекомендуется для студентов первого курса очной и очно-заочной форм обучения

Для направлений 010400.62 "Прикладная математика и информатика", 010300.62 "Фундаментальная информатика и информационные технологии", 010500 "Математическое обеспечение и администрирование информационных систем", 080500.62 "Бизнес-информатика", 010800.62 "Механика и математическое моделирование".

Оглавление

Часть 1. Построение эскизов графиков функций. 4

1. Графики основных элементарных функций……………………………………. 4

1.1. Постоянная и степенная функции. 5

1.2. Показательная и логарифическая функции. 8

1.3. Тригонометрические функции. 9

1.4. Обратные тригонометрические функции. 11

2. Элементарные преобразования графиков……………………………………… 12

3. Построение графиков функций, не являющихся элементарными……………. 16

4. Действия с графиками функций………………………………………………… 19

4.1. Сложение и вычитание графиков. 19

4.2. Умножение и деление графиков. 22

4.3. Построение графиков сложных функций. 28

5. Графики в полярных координатах……………………………………………… 32

5.1. Полярные координаты.. 32

5.2. Графики кривых в полярных координатах. 33

Часть 2. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций и построению их графиков. 38

1. Признак возрастания и убывания функции…………………………………….. 38

2. Локальные экстремумы функции……………………………………………….. 39

3. Выпуклость функции. Точки перегиба…………………………………………. 43

5. Порядок построения графика функции, заданной выражением …….. 49

6. Построение графика функции, заданной параметрически……………………. 53

6.1. Порядок построения графика параметрически заданной функции. 53

6. 2. Асимптоты параметрического графика. 54

6. 3. Точки перегиба. 54

6.4. Пример построения графика параметрически заданной функции. 55

Список литературы.. 58

Введение

Методическое пособие составлено из двух частей: в первой части рассматривается построение эскизов графиков функций, во второй — построение графиков функций с использованием техники дифференцирования. Для построения эскизов графиков функций применяются следующие приемы: построение "по точкам", действия с графиками (например, сложение, вычитание, умножение графиков), преобразование графиков.

Часть 1. Построение эскизов графиков функций

В этой части мы будем изучать построение графиков функций, используя наименьшее число вычисление и избегая прямого применения дифференциального исчисления. Такие эскизы иллюстрируют общее поведение функции и полезны при решении различных задач.

В первом разделе этой части мы построим графики основных элементарных функций в прямоугольной декартовой системе координат и отметим некоторые особенности поведения этих функций.

Во втором разделе изучим элементарные преобразования графиков функций, таких как параллельный перенос, поворот, зеркальное отображение, растяжение, сжатие и др.

В третьем разделе построим графики некоторых функций, не являющихся элементарными.

В четвертом разделе разберем как производить сложение, вычитание, умножение и деление графиков, а также как строить график сложной функции.

В пятом разделе мы рассмотрим полярную систему координат и построим в ней графики некоторых функций, наиболее часто встречающихся в приложениях.

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Папиллярные узоры пальцев рук — маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни.

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Задана дробная функция, в числителе и знаменателе которой стоят квадратичные функции.

Методика построения эскиза такова:

1. Выделим интервалы знакопостоянства и определим на каждом знак функции (рисунок 1)

Мы подробно рассматривали и выяснили, что функция, непрерывная в ОДЗ, может сменить знак только при переходе аргумента через корни и точки разрыва ОДЗ.

Заданная функция у непрерывна в своей ОДЗ, укажем ОДЗ:

Выделим интервалы знакопостоянства. Мы нашли корни функции и точки разрыва области определения – корни знаменателя. Важно отметить, что внутри каждого интервала функция сохраняет знак.

Рис. 1. Интервалы знакопостоянства функции

Чтобы определить знак функции на каждом интервале, можно взять любую точку, принадлежащую интервалу, подставить ее в функцию и определить ее знак. Например:

На интервале функция имеет знак плюс

На интервале функция имеет знак минус.

В этом преимущество метода интервалов: мы определяем знак в единственной пробной точке и заключаем, что функция будет иметь такой же знак на всем выбранном интервале.

Однако можно выставлять знаки автоматически, не высчитывая значений функции, для этого определить знак на крайнем интервале, а далее чередовать знаки.

1. Построим график в окрестности каждого корня. Напомним, что корни данной функции

Рис. 2. График в окрестностях корней

Поскольку в точке 2. Построим график в окрестности каждого разрыва ОДЗ. Напомним, что корни знаменателя данной функции

Рис. 3. График функции в окрестностях точек разрыва ОДЗ

Когда

Рис. 4. Эскиз графика функции

Рассмотрим следующую важную задачу – построить эскиз графика функции в окрестностях бесконечно удаленных точек, т.е. когда аргумент стремится к плюс или минус бесконечности. Постоянными слагаемыми при этом можно пренебречь. Имеем:

Иногда можно встретить такую запись данного факта:

Рис. 5. Эскиз графика функции в окрестностях бесконечно удаленных точек

Мы получили приблизительный характер поведения функции на всей ее области определения, далее нужно уточнять построения с применением производной.

2. Решение примера №1

Пример 1 – построить эскиз графика функции:

Строим эскиз графика функции без использования производной.

Сначала исследуем заданную функцию:

ОДЗ:

Корень:

Имеем три точки, при переходе аргумента через которые функция может менять знак.

Отметим, что заданная функция нечетная.

Определяем знаки функции на каждом интервале. Имеем плюс на крайнем правом интервале, далее знаки чередуются, так как все корни имеют первую степень.

Строим эскиз графика в окрестностях корней и точек разрыва ОДЗ. Имеем: поскольку в точке

После выполнения вышеперечисленных действий мы уже представляем себе график функции, но требуется уточнить его с помощью производной.

Найдем производную функции:

Очевидно, что производная всегда меньше нуля, следовательно, функция убывает на всех участках. Так, на участке от минус бесконечности до минус двух функция убывает от нуля до минус бесконечности; на участке от минус двух до нуля функция убывает от плюс бесконечности до нуля; на участке от нуля до двух функция убывает от нуля до минус бесконечности; на участке от двух до плюс бесконечности функция убывает от плюс бесконечности до нуля.

Рис. 6. Эскиз графика функции к примеру 1

3. Решение примера №2

Пример 2 – построить эскиз графика функции:

Строим эскиз графика функции без использования производной.

Сначала исследуем заданную функцию:

ОДЗ:

Корень:

Имеем единственную точку, при переходе аргумента через которую функция может менять знак.

Отметим, что заданная функция нечетная.

Определяем знаки функции на каждом интервале. Имеем плюс на крайнем правом интервале, далее знак меняется, так как корень имеет первую степень.

Строим эскиз графика в окрестностях корня. Имеем: поскольку в точке знак функции меняется с минуса на плюс, то кривая сначала находится под осью, потом проходит через ноль и далее расположена над осью х.

Читайте также:  Как посмотреть из за чего перезагрузился компьютер

Теперь строим эскиз графика функции в окрестностях бесконечно удаленных точек, т.е. когда аргумент стремится к плюс или минус бесконечности. Постоянными слагаемыми при этом можно пренебречь. Имеем:

После выполнения вышеперечисленных действий мы уже представляем себе график функции, но требуется уточнить его с помощью производной.

Найдем производную функции:

Выделяем интервалы знакопостоянства производной:

Таким образом, функция меняется в пределах

Рис. 7. Эскиз графика функции к примеру 2

Итак, мы рассмотрели построение графика дробно-квадратичной функции, далее будем рассматривать график дробно-линейной функции.

Список рекомендованной литературы:

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. М.: Мнемозина

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. М.: Дрофа.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. М.: Просвещение.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет:

2. Егэ по математике (Источник).

3. Институт менеджмента, маркетинга и финансов (Источник).

Рекомендованное домашнее задание:

1. Построить эскизы графиков функций:

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно по теме “Графики функций”.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

  • Декартова система координат
  • Функция

Система координат – это две взаимно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в точке, которая является началом отсчета для каждой из них.

Координатные оси – прямые, образующие систему координат.

Ось абсцисс (ось x ) – горизонтальная ось.

Ось ординат (ось y ) – вертикальная ось.

Функция – это отображение элементов множества X на множество Y . При этом каждому элементу x множества X соответствует одно единственное значение y множества Y .

Линейная функция – функция вида y = a x + b где a и b – любые числа.

Графиком линейной функции является прямая линия.

Рассмотрим, как будет выглядеть график в зависимости от коэффициентов a и b :

Если a > 0 , прямая будет проходить через I и III координатные четверти.

b – точка пересечения прямой с осью y .

Если a 0 , прямая будет проходить через II и IV координатные четверти.

b – точка пересечения прямой с осью y .

Если a = 0 , функция принимает вид y = b .

Отдельно выделим график уравнения x = a .

Важно : это уравнение не является функцией так как нарушается определение функции ( функция ставит в соответствие каждому элементу x множества X одно единственно значение y множества Y ). Данное уравнение ставит в соответствие одному элементу x бесконечное множества элементов y . Тем не менее, график данного уравнения построить можно. Просто не будем называть его гордым словом «Функция».

Графиком функции y = k x является гипербола .

Характерная особенность гиперболы в том, что у неё есть асимптоты.

Асимптоты гиперболы – прямые, к которым она стремится, уходя в бесконечность.

Ось x – горизонтальная асимптота гиперболы

Ось y – вертикальная асимптота гиперболы.

На графике асимптоты отмечены зелёной пунктирной линией.

Если коэффициент k > 0 , то ветви гиперолы проходят через I и III четверти.

0" />

Если k 0, ветви гиперболы проходят через II и IV четверти.

Чем меньше абсолютная величина коэффиента k (коэффициент k без учета знака), тем ближе ветви гиперболы к осям x и y .

Функция y = x имеет следующий график:

Функция y = f ( x ) возрастает на интервале , если большему значению аргумента (большему значению x ) соответствует большее значение функции (большее значение y ) .

То есть чем больше (правее) икс, тем больше (выше) игрек. График поднимается вверх (смотрим слева направо)

Примеры возрастающих функций:

Функция y = f ( x ) убывает на интервале , если большему значению аргумента (большему значению x ) соответствует меньшее значение функции (большее значение y ) .

То есть чем больше (правее) икс, тем меньше (ниже) игрек. График опускается вниз (смотрим слева направо).

Примеры убывающих функций:

Для того, чтобы найти наибольшее значение функции , находим самую высокую точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси y ) . Это значение и будет являться наибольшим значением функции.

Для того, чтобы найти наименьшее значение функции , находим самую нижнюю точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси y ) . Это значение и будет являться наименьшим значением функции.

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector