Проекция тетраэдра на плоскость

Проекция тетраэдра на плоскость

тБУУНБФТЙЧБАФУС ПТФПЗПОБМШОЩЕ РТПЕЛГЙЙ ДБООПЗП РТБЧЙМШОПЗП ФЕФТБЬДТБ У ЕДЙОЙЮОЩН ТЕВТПН ОБ ЧУЕЧПЪНПЦОЩЕ РМПУЛПУФЙ. лБЛПЕ ОБЙВПМШЫЕЕ ЪОБЮЕОЙЕ НПЦЕФ РТЙОЙНБФШ ТБДЙХУ ЛТХЗБ, УПДЕТЦБЭЕЗПУС Ч ФБЛПК РТПЕЛГЙЙ?

тЕЫЕОЙЕ

рХУФШ A, B, C Й D — ЧЕТЫЙОЩ ЬФПЗП ФЕФТБЬДТБ, O — ЕЗП ГЕОФТ (УН. ТЙУ. Б). уРТПЕГЙТХЕН ФЕФТБЬДТ ПТФПЗПОБМШОП ОБ ОЕЛПФПТХА РМПУЛПУФШ π. пВПЪОБЮЙН ЮЕТЕЪ A‘, B‘, C‘, D‘ Й O‘ ПТФПЗПОБМШОЩЕ РТПЕЛГЙЙ ФПЮЕЛ A, B, C, D Й O ОБ РМПУЛПУФШ π УППФЧЕФУФЧЕООП. еУМЙ РМПУЛПУФШ π РБТБММЕМШОБ ТЈВТБН AB Й CD, ФП РТПЕЛГЙС РТЕДУФБЧМСЕФ УПВПК ЛЧБДТБФ У ДЙБЗПОБМША ДМЙОЩ 1 (УН. ТЙУ. В). ч ЬФПФ ЛЧБДТБФ НПЦОП ЧРЙУБФШ ЛТХЗ ТБДЙХУБ .

рТЙЧЕДЈН ДЧБ УРПУПВБ ДБМШОЕКЫЕЗП ТЕЫЕОЙС ЪБДБЮЙ.

рЕТЧЩК УРПУПВ. рТЕДРПМПЦЙН, ЮФП ОБКДЈФУС ФБЛБС РМПУЛПУФШ π, ЮФП ПТФПЗПОБМШОБС РТПЕЛГЙС РТБЧЙМШОПЗП ФЕФТБЬДТБ ABCD У ТЕВТПН ДМЙОЩ 1 ОБ ЬФХ РМПУЛПУФШ УПДЕТЦЙФ ОЕЛПФПТЩК ЛТХЗ У ГЕОФТПН Ч ФПЮЛЕ I Й ТБДЙХУПН R > . рТПЕЛГЙС ФЕФТБЬДТБ РТЕДУФБЧМСЕФ УПВПК МЙВП ЮЕФЩТЈИХЗПМШОЙЛ У ЧЕТЫЙОБНЙ Ч ФПЮЛБИ A‘, B‘, C‘, D‘ (УН. ТЙУ. Ч), МЙВП ФТЕХЗПМШОЙЛ У ЧЕТЫЙОБНЙ Ч ФТЈИ ЙЪ ЬФЙИ ФПЮЕЛ (УН. ТЙУ. З). тБУУНПФТЙН ФТЕХЗПМШОЙЛЙ OAB‘, OAC‘, OBC‘, OAD‘, OBD‘ Й OCD‘. рП ЛТБКОЕК НЕТЕ ПДЙО ЙЪ ЬФЙИ ФТЕХЗПМШОЙЛПЧ ЙНЕЕФ УФПТПОХ, СЧМСАЭХАУС ФБЛЦЕ УФПТПОПК Ч ЬФПК РТПЕЛГЙЙ, Й УПДЕТЦЙФ ФПЮЛХ I. рХУФШ ДМС ПРТЕДЕМЈООПУФЙ ЬФП ФТЕХЗПМШОЙЛ OAB‘. фПЗДБ ТБУУФПСОЙЕ ПФ ТЕВТБ AB ДП РТСНПК l, РТПИПДСЭЕК ЮЕТЕЪ ФПЮЛХ I РЕТРЕОДЙЛХМСТОП Л РМПУЛПУФЙ π, ОЕ НЕОШЫЕ R Й ВПМШЫЕ . у ДТХЗПК УФПТПОЩ, ЬФБ РТСНБС РЕТЕУЕЛБЕФ ФТЕХЗПМШОЙЛ OAB Ч ОЕЛПФПТПК ФПЮЛЕ E (УН. ТЙУ. Д). тБУУФПСОЙЕ ЦЕ ПФ ФПЮЛЙ E ДП ТЕВТБ AB ОЕ РТЕЧПУИПДЙФ ТБУУФПСОЙС ПФ ФПЮЛЙ O ДП ЬФПЗП ТЕВТБ, ФП ЕУФШ ОЕ ВПМШЫЕ . рПМХЮЕООПЕ РТПФЙЧПТЕЮЙЕ РПЛБЪЩЧБЕФ, ЮФП ФБЛПК РМПУЛПУФЙ π Й ФБЛПК ПТФПЗПОБМШОПК РТПЕЛГЙЙ ОЕ УХЭЕУФЧХЕФ.

тЙУ. Б тЙУ. В тЙУ. Ч

чФПТПК УРПУПВ. рПЛБЦЕН, ЮФП ОЙ Ч ЛБЛПК ПТФПЗПОБМШОПК РТПЕЛГЙЙ ФЕФТБЬДТБ ОЕМШЪС ТБУРПМПЦЙФШ ЛТХЗ, ТБДЙХУ ЛПФПТПЗП ВПМШЫЕ, ЮЕН .

рТПЕЛГЙС ФЕФТБЬДТБ — ЬФП ЙМЙ ФТЕХЗПМШОЙЛ, ЙМЙ ЮЕФЩТЈИХЗПМШОЙЛ. еУМЙ РТПЕЛГЙС — ФТЕХЗПМШОЙЛ, ФП ЬФП РТПЕЛГЙС ЗТБОЙ ФЕФТБЬДТБ. рХУФШ, ДМС ПРТЕДЕМЈООПУФЙ, ЬФП ЗТБОШ ABC (УН. ТЙУ. Е). ч ЬФХ ЗТБОШ ФЕФТБЬДТБ ЧРЙЫЕН ПЛТХЦОПУФШ У ГЕОФТПН Ч ФПЮЛЕ Q Й ТБДЙХУПН (

© 2004-. нгонп (П ЛПРЙТБКФЕ)
рЙЫЙФЕ ОБН

рТПЕЛФ ПУХЭЕУФЧМСЕФУС РТЙ РПДДЕТЦЛЕ Й .

Проекция — тетраэдр

Проекция тетраэдра может иметь вид треугольника или четырехугольника. В первое случае, очевидно, площадь проекции не больше площади одной из граней. Во втором случае рис. 3 она в дна рааа больше площади проекции параллелограмма-сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через середины четырех ребер и параллельной двум остальным. [1]

Построить проекции тетраэдра с основанием ABC на плоскости Р, если дана сторона АВ его основания в совмещенном положении на плоскости К ( фиг. [2]

Построить проекции тетраэдра с основанием ABC на плоскости Р, если дана сторона АВ его основания в совмещенном положении на плоскости V ( фиг. [3]

Построить проекции тетраэдра с основанием ABC на плоскости Р, если дана сторона АВ его основания в совмещенном положении на плоскости 7 ( фиг. [4]

Теперь нужно найти такую плоскость 11, на которой проекция тетраэдра удовлетворяла бы условию. [5]

Изображение кристаллических структур, в которых атом X связан более чем с одним другим атомом X, можно упростить, показав, как группы АХ соединяются между собой через общие атомы X. Два важнейших полиэдра — это тетраэдр и октаэдр, и поскольку на чертежах структур они появляются в различных ориентациях, важно уметь распознавать их вид. На рис. 5.1 показаны проекции тетраэдра и октаэдра, а также пары октаэдров с общим ребром или общей гранью. [6]

Читайте также:  Divinity original sin 2 жезл очищения

Из четырех боковых поверхностей прямоугольного тетраэдра три представляют собой равнобедренные прямоугольные треугольники, в то время как четвертая является равносторонним треугольником. Поэтому клинографическая проекция из вершины прямого угла на противоположную сторону также оказывается равносторонним треугольником состава. Для того чтобы получить все проекции прямоугольного тетраэдра в виде прямоугольных треугольников поступаем следующим образом. [7]

Более просто и удобно вместо правильного тетраэдра применять трехгранную призму. На боковой ортогональной ( или клинографической) проекции откладывают содержание воды. Безводная ортогональная проекция призмы аналогична центральной безводной проекции тетраэдра , так как призму можно рассматривать как тетраэдр, вершина которого, соответствующая воде, удалена в бесконечность. [9]

Для изображения четырехкомпонентных составов можно исходить из координатного тетраэдра, у которого три грани являются прямоугольными треугольниками, с общей вершиной для трех прямых углов, а четвертая грань представляет равносторонний треугольник. На чертеже даются две прямоугольные грани координатного тетраэдра, на которые ортогонально спроектированы точки состава. В то время как для вполне определенного изображения четырехкомпонентного состава необходимы две проекции координатного тетраэдра , для изображения состава в системе с 5 или 6 компонентами необходимы три проекции, а для состава с 7 или 8 компонентами — четыре проекции. [10]

Более точно положение точки D можно определить, если, руководствуясь правилами начертательной геометрии, построить ее как место пересечения луча испарения с конической поверхностью, ограничивающей объем кристаллизации одного компонента С. Более удобен другой способ проектирования, при котором используется одна ортогональная и одна центральная проекции тетраэдра ( см. гл. [12]

О, и из координат атомов можно заключить, что каждый атом Ti имеет октаэдрическую координационную группу из шести атомов О. На рис. 1.6 6 линии представляют ребра ок-таэдрической координационной группы. Поскольку важно, чтобы по крайней мере два самых типичных координационных полиэдра было легко узнать при рассмотрении в разных ориента-циях, мы иллюстрируем некоторые проекции тетраэдра и октаэдра в начале гл. [14]

LMN имеет наибольший периметр. Пусть Ль В, С, D [ — проекции точек А, В, С, D на плоскость KLM и пусть Г ломаная, ограничивающая проекцию тетраэдра K . [15]

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Рис. 1. Тетраэдр АВСD

Замечание: можно принять плоскость АВС за основание тетраэдра, и тогда точка D является вершиной тетраэдра. Каждое ребро тетраэдра является пересечением двух плоскостей. Например, ребро АВ – это пересечение плоскостей АВD и АВС. Каждая вершина тетраэдра – это пересечение трех плоскостей. Вершина А лежит в плоскостях АВС, АВD, АDС. Точка А – это пересечение трех означенных плоскостей. Этот факт записывается следующим образом: А = АВСАВDАСD.

Тетраэдр определение

Итак, тетраэдр — это поверхность, образованная четырмя треугольниками.

Читайте также:  Процессоры под 754 сокет

Ребро тетраэдра — линия перечесения двух плоскостей тетраэдра.

Задача 1 на построение тетраэдра

Составьте из 6 спичек 4 равных треугольника. На плоскости решить задачу не получается. А в пространстве это сделать легко. Возьмем тетраэдр. 6 спичек – это его ребра, четыре грани тетраэдра и будут четырьмя равными треугольниками. Задача решена.

Задача 2 Построить сечение тетраэдра плоскостью

Дан тетраэдр АВСD. Точка M принадлежит ребру тетраэдра АВ, точка N принадлежит ребру тетраэдра ВD и точка Р принадлежит ребру DС (Рис. 2.). Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNP.

Рис. 2. Рисунок к задаче 2 — Построить сечение тетраэдра плоскостью

Решение:
Рассмотрим грань тетраэдра DВС. В этой грани точки N и P принадлежат грани DВС, а значит, и тетраэдру. Но по условию точки N, P принадлежат секущей плоскости. Значит, NP – это линия пересечения двух плоскостей: плоскости грани DВС и секущей плоскости. Предположим, что прямые NP и ВС не параллельны. Они лежат в одной плоскости DВС. Найдем точку пересечения прямых NP и ВС. Обозначим ее Е (Рис. 3.).

Рис. 3. Рисунок к задаче 2. Нахождение точки Е

Точка Е принадлежит плоскости сечения MNP, так как она лежит на прямой , а прямая целиком лежит в плоскости сечения MNP.

Также точка Е лежит в плоскости АВС, потому что она лежит на прямой ВС из плоскости АВС.

Получаем, что ЕМ – линия пересечения плоскостей АВС и MNP, так как точки Е и М лежат одновременно в двух плоскостях — АВС и MNP. Соединим точки М и Е, и продолжим прямую ЕМ до пересечения с прямой АС. Точку пересечения прямых ЕМ и АС обозначим Q.

Итак, в этом случае NPQМ — искомое сечение.

Рис. 4. Рисунок к задаче 2.Решение задачи 2

Рассмотрим теперь случай, когда NP параллельна BC. Если прямая NP параллельна какой-нибудь прямой, например, прямой ВС из плоскости АВС, то прямая NP параллельна всей плоскости АВС.

Искомая плоскость сечения проходит через прямую NP, параллельную плоскости АВС, и пересекает плоскость по прямой МQ. Значит, линия пересечения МQ параллельна прямой NP. Получаем, NPQМ — искомое сечение.

Задача 3 Построить сечение тетраэдра плоскостью

Точка М лежит на боковой грани АDВ тетраэдра АВСD. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, которое проходит через точку М параллельно основанию АВС.

Рис. 5. Рисунок к задаче 3 Построить сечение тетраэдра плоскостью

Решение:
Секущая плоскость φ параллельна плоскости АВС по условию, значит, эта плоскость φ параллельна прямым АВ, АС, ВС.
В плоскости АВD через точку М проведем прямую PQ параллельно АВ (рис. 5). Прямая PQ лежит в плоскости АВD. Аналогично в плоскости АСD через точку Р проведем прямую РR параллельно АС. Получили точку R. Две пересекающиеся прямые PQ и РR плоскости РQR соответственно параллельны двум пересекающимся прямым АВ и АС плоскости АВС, значит, плоскости АВС и РQR параллельны. РQR – искомое сечение. Задача решена.

Задача 4

Дан тетраэдр АВСD. Точка М – точка внутренняя, точка грани тетраэдра АВD. N – внутренняя точка отрезка DС (Рис. 6.). Построить точку пересечения прямой NM и плоскости АВС.

Рис. 6. Рисунок к задаче 4

Решение:
Для решения построим вспомогательную плоскость DМN. Пусть прямая DМ пересекает прямую АВ в точке К (Рис. 7.). Тогда, СКD – это сечение плоскости DМN и тетраэдра. В плоскости DМN лежит и прямая NM, и полученная прямая СК. Значит, если NM не параллельна СК, то они пересекутся в некоторой точке Р. Точка Р и будет искомая точка пересечения прямой NM и плоскости АВС.

Рис. 7. Рисунок к задаче 4. Решение задачи 4

Читайте также:  Драйвера для android x86

Задача 5 Построить сечение тетраэдра плоскостью

Дан тетраэдр АВСD. М – внутренняя точка грани АВD. Р – внутренняя точка грани АВС. N – внутренняя точка ребра DС (Рис. 8.). Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N и Р.

Рис. 8. Рисунок к задаче 5 Построить сечение тетраэдра плоскостью

Решение:
Рассмотрим первый случай, когда прямая MN не параллельна плоскости АВС. В прошлой задаче мы нашли точку пересечения прямой MN и плоскости АВС. Это точка К, она получена с помощью вспомогательной плоскости DМN, т.е. мы проводим DМ и получаем точку F. Проводим СF и на пересечении MN получаем точку К.

Рис. 9. Рисунок к задаче 5. Нахождение точки К

Проведем прямую КР. Прямая КР лежит и в плоскости сечения, и в плоскости АВС. Получаем точки Р1 и Р2. Соединяем Р1 и М и на продолжении получаем точку М1. Соединяем точку Р2 и N. В результате получаем искомое сечение Р1Р21. Задача в первом случае решена.
Рассмотрим второй случай, когда прямая MN параллельна плоскости АВС. Плоскость МNР проходит через прямую МN параллельную плоскости АВС и пересекает плоскость АВС по некоторой прямой Р1Р2, тогда прямая Р1Р2 параллельна данной прямой MN (Рис. 10.).

Рис. 10. Рисунок к задаче 5. Искомое сечение

Итоги урока по теме «Тетраэдр», «Ребро тетраэдра», «Грани тетраэдра», «Поверхность тетраэдра», «Вершины тетраэдра»

Итак, мы рассмотрели тетраэдр, решили некоторые типовые задачи на тетраэдр. На следующем уроке мы рассмотрим параллелепипед.

Список рекомендованной литературы по теме «Тетраэдр»

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни)

2. Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений

3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики

Дополнительные веб-ресурсы

1. Сечения тетраэдра (Источник).

2. Как построить сечение тетраэдра. Математика (Источник).

3. Фестиваль педагогических идей (Источник).

Сделай дома задачи по теме «Тетраэдр», как находить ребро тетраэдра, грани тетраэдра, вершины и поверхность тетраэдра

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил. Задания 18, 19, 20 стр. 50

2. Точка Е середина ребра МА тетраэдра МАВС. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки В, С и Е.

3. В тетраэдре МАВС точка М принадлежит грани АМВ, точка Р – грани ВМС, точка К – ребру АС. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, Р, К.

4. Какие фигуры могут получиться в результате пересечения плоскостью тетраэдра?

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

«>

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector