Собственные числа симметричной матрицы

Вещественное число λ и вектор z называются собственной парой матрицы A, если они удовлетворяют следующему условию: Az = λz. При этом для вещественной матрицы A может быть поставлена задача поиска только собственных чисел, или как собственных чисел, так и векторов.

В случае, если вещественная матрица A размером NxN симметрична, у неё есть N собственных чисел (не обязательно различных) и N соответствующих им собственных векторов, образующих ортонормированный собственный базис (в общем случае собственные векторы не ортогональны, причем их может быть и меньше, чем N).

Теорема Гамильтона-Кэли.

Теорема Гамильтона-Кэли:Любая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению.

Если А – квадратная матрица и с(λ) её характеристический многочлен, то с(А) = 0.

Непосредственная проверка оправдывает это утверждение для матрицы порядка 2:

Характеристический многочлен

Тогда: c(A) = A2 − (a11 + a22)A + (a11a22 − a12a21)E =

Тема 4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Системы линейных уравнений, их типы.

Линейными операциями над какими-либо объектами называются их сложение и умножение на число.

Линейной комбинацией переменных называется результат применения к ним линейных операций, т.е. где числа, переменные.

Линейным уравнением называется уравнение вида (2.1), где и b – числа, — неизвестные.

Таким образом, в левой части линейного уравнения стоит линейная комбинация неизвестных, а в правой – число.

Линейное уравнение называется однородным, если b = 0. В противном случае уравнение называется неоднородным.

Системой линейных уравнений (линейной системой) называется система вида: (2.2)

где , — числа, — неизвестные, n – число неизвестных, m – число уравнений.

Решением линейной системы (2.2) называется набор чисел которые при подстановке вместо неизвестных обращают каждое уравнение системы в верное равенство.

Теорема Крамера.

Теорема Крамера: Правилом Крамера называют формулы для нахождения решения системы из n уравнений с n неизвестными и детерминантом отличным от 0.

Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.

Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0. det A ¹ 0;

Действительно, если какое- либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какой-либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое-либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю.

Теорема (правило Крамера). Система из n уравнений с n неизвестными

в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам: xi = Di/D, где D = det A, а Di – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов bi.

Читайте также:  Задержавшись у дверей сестра

Ранг матрицы.

Ранг матрицы – это максимальный порядок отличного от нуля минора.

Миноромматрицы порядка s называется определитель матрицы, образованной из элементов исходной матрицы, находящихся на пересечении каких-либо выбранных s строк и s столбцов. В матрице порядка m´n минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r+1 и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n. Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются базисными. В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок.

Определение. Порядок базисного минора матрицы называется рангомматрицы и обозначается Rg А.

Очень важным свойством элементарных преобразований матриц является то, что они не изменяют ранг матрицы.

Определение. Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования, называются эквивалентными.

Надо отметить, чторавные матрицы и эквивалентные матрицы — понятия совершенно различные.

Теорема. Наибольшее число линейно независимых столбцов в матрице равно числу линейно независимых строк.

Т.к. элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы, можно существенно упростить процесс нахождения ранга матрицы.

Пример. Определить ранг матрицы.

, RgA = 2.

Если с помощью элементарных преобразований не удается найти матрицу, эквивалентную исходной, но меньшего размера, то нахождение ранга матрицы следует начинать с вычисления миноров наивысшего возможного порядка. В вышеприведенном примере – это миноры порядка 3. Если хотя бы один из них не равен нулю, то ранг матрицы равен порядку этого минора.

Определение 9.3. Вектор х называется собственным вектором матрицы А, если найдется такое число λ, что выполняется равенство: Ах= λх, то есть результатом применения к х линейного преобразования, задаваемого матрицей А, является умножение этого вектора на число λ. Само число λ называетсясобственным числом матрицы А.

Подставив в формулы (9.3) x`j = λxj, получим систему уравнений для определения координат собственного вектора:

.

. (9.5)

Эта линейная однородная система будет иметь нетривиальное решение только в случае, если ее главный определитель равен 0 (правило Крамера). Записав это условие в виде:

получим уравнение для определения собственных чисел λ, называемое характеристическим уравнением. Кратко его можно представить так:

поскольку в его левой части стоит определитель матрицы А-λЕ. Многочлен относительно λ | A — λE| называется характеристическим многочленом матрицы А.

Свойства характеристического многочлена:

1) Характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса. Доказательство. (см. (9.4)), но следовательно, . Таким образом, не зависит от выбора базиса. Значит, и |A-λE| не изменяется при переходе к новому базису.

2) Если матрица А линейного преобразования является симметрической (т.е. аij=aji), то все корни характеристического уравнения (9.6) – действительные числа.

Читайте также:  Экшн видеокамера htc re

Свойства собственных чисел и собственных векторов:

1) Если выбрать базис из собственных векторов х1, х2, х3, соответствующих собственным значениям λ1, λ2, λ3 матрицы А, то в этом базисе линейное преобразование А имеет матрицу диагонального вида:

(9.7) Доказательство этого свойства следует из определения собственных векторов.

2) Если собственные значения преобразования А различны, то соответствующие им собственные векторы линейно независимы.

3) Если характеристический многочлен матрицы А имеет три различных корня, то в некотором базисе матрица А имеет диагональный вид.

Найдем собственные числа и собственные векторы матрицы Составим характеристическое уравнение: (1- λ)(5 — λ)(1 — λ) + 6 — 9(5 — λ) — (1 — λ) — (1 — λ) = 0, λ³ — 7λ² + 36 = 0, λ1 = -2, λ2 = 3, λ3 = 6.

Найдем координаты собственных векторов, соответствующих каждому найденному значению λ. Из (9.5) следует, что если х(1)=<x1,x2,x3> – собственный вектор, соответствующий λ1=-2, то

— совместная, но неопределенная система. Ее решение можно записать в виде х(1)=<a,0,-a>, где а – любое число. В частности, если потребовать, чтобы |x(1)|=1, х(1)=

Подставив в систему (9.5) λ2=3, получим систему для определения координат второго собственного вектора — x(2)=<y1,y2,y3>:

, откуда х(2)=<b,-b,b> или, при условии |x(2)|=1, x(2)=

, x(3)=<c,2c,c> или в нормированном варианте

х(3) = Можно заметить, что х(1)х(2) = ab – ab = 0, x(1)x(3) = ac – ac = 0, x(2)x(3) = bc — 2bc + bc = 0. Таким образом, собственные векторы этой матрицы попарно ортогональны.

Лекция 10.

Квадратичные формы и их связь с симметричными матрицами. Свойства собственных векторов и собственных чисел симметричной матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Определение 10.1. Квадратичной формой действительных переменных х1, х2,…,хn называется многочлен второй степени относительно этих переменных, не содержащий свободного члена и членов первой степени.

Примеры квадратичных форм:

(n = 2),

(n = 3). (10.1)

Напомним данное в прошлой лекции определение симметрической матрицы:

Определение 10.2. Квадратная матрица называется симметрической, если , то есть если равны элементы матрицы, симметричные относительно главной диагонали.

Свойства собственных чисел и собственных векторов симметрической матрицы:

1) Все собственные числа симметрической матрицы действительные.

Доказательство (для n = 2).

Пусть матрица А имеет вид: . Составим характеристическое уравнение:

(10.2) Найдем дискриминант:

следовательно, уравнение имеет только действительные корни.

2) Собственные векторы симметрической матрицы ортогональны.

Читайте также:  Гугл карты координаты точек широта и долгота

Доказательство (для n = 2).

Координаты собственных векторов и должны удовлетворять уравнениям:

Следовательно, их можно задать так:

. Скалярное произведение этих векторов имеет вид:

По теореме Виета из уравнения (10.2) получим, что Подставим эти соотношения в предыдущее равенство: Значит, .

Замечание. В примере, рассмотренном в лекции 9, были найдены собственные векторы симметрической матрицы и обращено внимание на то, что они оказались попарно ортогональными.

Определение 10.3. Матрицей квадратичной формы(10.1) называется симметрическая матрица . (10.3)

Таким образом, все собственные числа матрицы квадратичной формы действительны, а все собственные векторы ортогональны. Если все собственные числа различны, то из трех нормированных собственных векторов матрицы (10.3) можно построить базис в трехмерном пространстве. В этом базисе квадратичная форма будет иметь особый вид, не содержащий произведений переменных.

Дата добавления: 2016-03-27 ; просмотров: 1758 | Нарушение авторских прав

Рассмотрим матрицу симметричного оператора. Докажем утверждение: чтобы оператор был симметричным, необходимо и достаточно, чтобы в ортонормированном базисе его матрица была бы симметричной.

Пусть А – симметричный оператор, т. е.:

Если А – матрица оператора А, а x и y – некоторые векторы, то запишем:

координаты x и y в некотором ортонормированном базисе

Тогда: (x,y) = X T Y = Y T X и имеем (Ax,y) = (AX) T Y = X T A T Y

(x,Ay) = X T (AY) = X T AY,

т.е. X T A T Y = X T AY. При произвольных матрицах-столбцах X,Y это равенство возможно только при А Т = А, а это означает, что матрица А – симметричная.

Собственные числа и собственные векторы

Ненулевой вектор х назовем собственным вектором линейного оператора , если существует такое число l, что выполняется равенство: х = lх.

Число l называется собственным числом или собственным значением оператора .

Т.к. оператор преобразует пространство само в себя, то матрица этого оператора квадратная. Если базис пространства n>, то

Запишем в координатной форме равенство х = lх:

( — lЕ) х = 0

Эта система линейных однородных уравнений относительно координат искомого вектора х. Т.к. х ¹ 0, то системы должна иметь ненулевое решение. Значит, для этого, должно быть det ( A — l E ) = 0, или

Уравнение D( l ) = 0 называется характеристическим уравнением для линейного оператора , а многочлен

степени n относительно l — характеристическим многочленом.

Если выразить и решить уравнение то получим собственные числа

Квадратичные формы и приведение их к каноническому виду.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: При сдаче лабораторной работы, студент делает вид, что все знает; преподаватель делает вид, что верит ему. 9526 — | 7348 — или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector