Событие это пространство элементарных исходов

Глава 1. Случайные события.

Любая современная математическая дисциплина основывается на некоторых исходных понятиях (аксиомах). В теории вероятностей такой аксиоматический подход был введен сравнительно недавно (в 30-х гг.) А.Н. Колмогоровым.

Аксиомы, лежащие в основе этого подхода, отражают и сообщают те свойства понятия вероятности случайных событий, которые использовались на интуитивном уровне с давних времен – с момента зарождения теории вероятностей как теории «азартных игр».

В этой и следующих главах будет показано, что основные понятия и аксиомы теории вероятностей представляют собой математические отражения понятий, хорошо известных любому человеку, наблюдавшему опыты со случайными исходами. Одним из таких понятий является пространство элементарных исходов, введение которого позволяет при решении конкретных практических задач оперировать общим для современной математики аппаратом теории множеств.

Пространство элементарных исходов.

Элементарным исходом (или элементарным событием) называют любой простейший (т.е. неделимый в рамках данного опыта) исход опыта. Множество всех элементарных исходов будем называть пространством элементарных исходов.

Другими словами, множество исходов опыта образует пространство элементарных исходов, если выполнены следующие требования:

— в результате опыта один из исходов обязательно происходит;

— появление одного из исходов опыта исключает появление остальных;

— в рамках данного опыта нельзя разделить элементарный исход на более мелкие составляющие.

В дальнейшем пространство элементарных исходов будем обозначать прописной буквой Ω, а сами элементарные исходы – строчной буквой , снабженной при необходимости индексами. То, что элемент принадлежит Ω, записывают в виде Ω, а тот факт, что множество Ω состоит из элементов и только из них, записывают в виде

В частности, может содержать конечное число элементарных исходов.

Рассмотрим примеры, поясняющие понятие пространства элементарных исходов.

Пример 1.1.Пусть опыт состоит в однократном подбрасывании монеты. При математическом описании этого опыта естественно отвлечься от несущественных возможностей (например, монета встанет на ребро) и ограничиться только двумя элементарными исходами: выпадением «герба» (можно обозначить этот исход Г, или ) и выпадением «цифры» (Ц, или ). Таким образом, или .

При двукратном подбрасывании монеты (или однократном подбрасывании двух монет) пространство элементарных исходов будет, очевидно содержать 4 элемента, т.е.

,

где — появление «герба» и при первом, и при втором подбрасываниях, и т.д.

Пример 1.2. При однократном бросании игральной кости возможен любой из шести элементарных исходов , …, , где , означает появление i очков на верхней грани кости, т.е.

При двукратном бросании игральной кости каждый из шести возможных исходов при первом бросании может сочетаться с каждым из шести исходов при втором бросании, т.е.

где — исход опыта, при котором сначала выпало i, а затем j очков.

Нетрудно подсчитать, что пространство элементарных исходов содержит 36 элементарных исходов.

Пример 1.3. Пусть опыт заключается в определении числа вызовов, поступивших на телефонную станцию в течение заданного промежутка времени. Разумеется, реально это число не превышает некоторого значения (определяемого, в частности, пропускной способностью линии связи), но, поскольку это значение может быть достаточно большим, в качестве пространства элементарных исходов можно принять множество целых неотрицательных чисел, т.е.

Пример 1.4. Предположим, что стрелок производит единственный выстрел по плоской мишени. В этом случае естественно отождествить с множеством точек на плоскости или множеством пар (x;y) действительных чисел, где x – абсцисса, а y – ордината точки попадания пули в мишень в некоторой системе координат. Таким образом,

.

Задачи.

В задачах 1.11.10 построить множество элементарных исходов Ω по описанию эксперимента и подмножества, соответствующие указанным событиям.

1.1. Игральная кость подбрасывается дважды. Наблюдаемый результат – пара чисел, соответствующих числам очков, выпавших в первый и второй раз. События А=<оба раза выпал число очков, кратное трем>, В=<ни разу не выпало число шесть>, С=<оба раза выпало число очков больше трех>, D=<оба раза выпало одинаковое число очков>.

1.2. Монета подбрасывается три раза. Наблюдаемый результат – появление герба (г) или цифры (ц) на верхней стороне монеты. События А= <герб выпал ровно один раз>, В=<ни разу не выпала цифра>, С=<выпало больше гербов, чем цифр>, D=<герб выпал не менее, чем два раза подряд>.

1.3. Монета подбрасывается до первого появления герба. Наблюдаемый результат – общее число подбрасываний. События А=<герб выпал при третьем подбрасывании>, В=<герб выпал не ранее, чем при третьем подбрасывании >.

1.4. Эксперимент состоит в раскладывании наудачу трех занумерованных шаров по трем ящикам. В каждый ящик может поместиться любое число шаров. Наблюдаемый результат – тройка чисел (i, j, k), где i, j, k – номера ящиков, в которые попали соответственно первый, второй и третий шары. События А=<первый ящик пустой>, В=<в каждый ящик попало по одному шару>, С=<все шары попали в один ящик>.

Читайте также:  Едадил в чем смысл

1.5. Производится стрельба по плоской прямоугольной мишени: . Наблюдаемый результат — координаты точки попадания в декартовой системе координат. По условиям стрельбы непопадание в указанный прямоугольник исключено. События А=<абсцисса точки попадания не меньше ординаты>, В=<произведение координат точки неотрицательно>, С=<сумма абсолютных величин координат точки превышает единицу>. Выявить пары совместных событий.

1.6. На отрезке наудачу ставится точка. Пусть х – координата этой точки. Затем на отрезке наудачу ставится еще одна точка с координатой у. Наблюдаемый результат – пара чисел (х, у). События А= <вторая точка ближе к правому концу отрезка , чем к левому>, В=<расстояние между двумя точками меньше половины длины отрезка>, С=<первая точка ближе ко второй чем к правому концу отрезка>. Выявить пары несовместных событий.

1.7.Иван и Петр договорились о встрече в определенном месте между одиннадцатью и двенадцатью часами. Каждый приходит в случайный момент указанного промежутка и ждет появления другого до истечения часа, но не более 15 минут, после чего уходит. Наблюдаемый результат – пара чисел (х, у), где х – время прихода Петра, у – время прихода Ивана (время исчисляется в минутах, начиная от 11 часов). Событие А=<встреча состоялась>.

1.8. (продолжение). В условиях эксперимента задачи 1.7 рассмотреть следующие события: >, В=<Петр ждал Ивана все обусловленное время и не дождался>, С=<Ивану не пришлось ждать Петра>.

1.11*.С помощью специального прибора регистрируется направление и скорость ветра в данном месте Земли. Прибор устроен таким образом, что позволяет определять скорость ветра сколь угодно точно, а регистрация направления ветра возможна лишь с точностью до 2 о . Установить, наблюдаемы ли в данном эксперименте события А= < >,

1.12. Относительно событий, перечисленных в каждом примере,
указать, образуют ли они в данном опыте полную группу событий (да,
нет).

3) Опыт — бросание двух игральных костей; события:

4) Опыт — передача двух сигналов по каналу связи; события:
D1 = <хотя бы один сигнал не искажен>;

5) Опыт — передача трех сообщений по каналу связи; события:

1.13. Относительно каждой группы событий ответить на вопрос,
являются ли они в данном опыте несовместными (да, нет).

2) Опыт — бросание двух монет; события:

4) Тот же опыт; события:

5) Опыт — вынимание двух карт из колоды; события:
Е1 = <обе карты черной масти>;

1.14. Относительно каждой из групп событий ответить на вопрос, равновозможны ли они в данном опыте (да, нет).

2) Опыт — бросание неправильной (погнутой) монеты; те же со­
бытия А1; А2.

3) Опыт — выстрел по мишени; события:

4) Опыт — бросание двух монет; события:

5) Опыт — вынимание наугад одной карты из колоды; события:

6) Опыт — бросание игральной кости; события:

7) Опыт — по каналу связи передаются в одинаковых условиях три сообщения одинаковой длины; события:

1.15. Относительно каждой из групп событий ответить на следую­щие вопросы: образуют ли они полную группу; являются ли несовмест­ными; являются ли равновозможными; образуют ли группу случаев.

1) Опыт — бросание (правильной) монеты; события:

2) Опыт — бросание двух монет; события:

3) Опыт — бросание игральной кости; события:

4) Опыт — вынимание наугад одной карты из колоды в 36 листов;
события:

6) Опыт — передача (в одинаковых условиях) трех сообщений рав­ной длины; события:

7) Опыт — эксплуатируются два прибора в течение времени τ; события:

1.16. Многогранник, имеющий k граней (k > 3) с номерами 1, 2, .
. k, бросается наугад на плоскость; при этом он падает на ту или другую грань. Построить для этого опыта пространство элементарных
событий и выделить в нем подмножество, соответствующее событию
А = <многогранник упал на грань, номер которой не превышает чис­ла k/2>.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Учись учиться, не учась! 10636 — | 8006 — или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Не все случайные явления (эксперименты) можно изучать методами теории вероятностей, а лишь те, которые могут быть воспроизведены в одних и тех же условиях. Случайность и хаос — не одно и то же. Оказывается, что и в случайных экспериментах наблюдаются некоторые закономерности, например свойство «статистической устойчивости» : если — некоторое событие, могущее произойти или не произойти в результате эксперимента, то доля экспериментов, в которых данное событие произошло, имеет тенденцию стабилизироваться с ростом общего числа экспериментов , приближаясь к некоторому числу . Это число служит объективной характеристикой «степени возможности» событию произойти.

Читайте также:  Как включить раздачу интернета мтс

Следует помнить, что мы занимаемся математикой и имеем дело не с реальностью, а лишь с её математической моделью. Мы и будем изучать только математические модели, а приложение их к реальности оставим на долю математической и практической статистики.

Примеры событий: — выпало одно или два очка; — выпало нечётное число очков.

Примеры событий:
— при первом подбрасывании выпало одно очко;
— при втором подбрасывании выпало одно очко;
— на костях выпало одинаковое число очков;
— на обеих костях выпало нечётное число очков.

1. Достоверным называется событие, которое обязательно происходит в результате эксперимента, т.е. единственное событие, включающее все элементарные исходы — событие .

2. Невозможным называется событие, которое не может произойти в результате эксперимента, т.е. событие, не содержащее ни одного элементарного исхода («пустое множество» ). Заметим, что всегда .

1. Объединением событий и называется событие, состоящее в том, что произошло либо , либо , либо оба события одновременно. На языке теории множеств есть множество, содержащее как элементарные исходы из множества , так и элементарные исходы из множества .

2. Пересечением событий и называется событие, состоящее в том, что произошли оба события и одновременно. На языке теории множеств есть множество, содержащее элементарные исходы, входящие в пересечение множеств и .

3. Противоположным (или дополнительным) к событию называется событие , состоящее в том, что событие в результате эксперимента не произошло. Т.е. множество состоит из элементарных исходов, не входящих в .

4. Дополнением события до называется событие, состоящее в том, что произошло событие , но не произошло . Т.е. множество содержит элементарные исходы, входящие в множество , но не входящие в .

1. События и называют несовместными , если .

2. События называют попарно несовместными , если для любых , где , события и несовместны.

3. Говорят, что событие влечёт событие , и пишут , если всегда, как только происходит событие , происходит и событие . На языке теории множеств это означает, что любой элементарный исход, входящий в множество , одновременно входит и в множество , т.е. содержится в .

Так, эксперименты из примеров 1, 2 и 4 (но не 3) приводят к дискретным пространствам элементарных исходов.

Множество счётно , если существует взаимно-однозначное соответствие между этим множеством и множеством всех натуральных чисел. Счётными множествами являются, например, множество натуральных чисел, множество целых чисел, множество рациональных чисел, множество чётных чисел и т.д. Множество конечно , если оно состоит из конечного числа элементов.

Назовём число вероятностью элементарного исхода . Вероятностью события назовём число

равное сумме вероятностей элементарных исходов, входящих в множество . В случае положим .

2. Если и несовместны, то ;

3. В общем случае ;

Если событие состоит из элементарных исходов, то вероятность этого события равняется отношению :

где символом обозначено число элементов конечного множества .

называемой классическим определением вероятности.

Мы видим теперь, что подсчёт вероятности в классической схеме сводится к подсчёту общего числа «шансов» и числа шансов, благоприятствующих какому-либо событию. Число шансов считают с помощью формул комбинаторики.

Рассмотрим описанные в параграфе 1 урновые схемы. Три схемы: с возвращением и с учётом порядка, без возвращения и с учётом порядка, а также без возвращения и без учёта порядка, удовлетворяют классическому определению вероятности. Общее число элементарных исходов в этих схемах подсчитано в теоремах 4, 2, 3 и равно соответственно , , . Четвёртая же схема — схема выбора с возвращением и без учёта порядка — имеет заведомо неравновозможные исходы.

Если порядок не учитывать, то следует объявить два последних исхода одним и тем же результатом эксперимента, и получить не четыре, а три исхода:

Первые два исхода имеют вероятности по 1/4, а последний — вероятность 1/4+1/4=1/2.

Решение. При или искомая вероятность равна нулю, так как соответствующее событие невозможно. Пусть и .

Результатом эксперимента является набор из шаров. Можно не учитывать или учитывать порядок следования шаров, вероятность не должна зависеть от способа подсчёта.

Выбор без учёта порядка. Общее число элементарных исходов есть число -элементных подмножеств множества, состоящего из элементов: (по теореме 3).

Обозначим через событие, вероятность которого требуется найти. Событию благоприятствует появление любого набора, содержащего белых шаров и чёрных. Число благоприятных исходов равно произведению (по теореме 1) числа способов выбрать белых шаров из и числа способов выбрать чёрных шаров из , т.е. . Вероятность события равна

Выбор с учётом порядка. Общее число элементарных исходов есть число способов разместить элементов на местах: по теореме 2,

При подсчёте числа благоприятных исходов нужно учесть число способов выбрать белых и чёрных шаров и число способов расположить эти шары среди . Можно, скажем, посчитать число способов выбрать мест среди (равное ), затем число способов разместить на этих местах белых шаров (равное ), и затем число способов разместить на оставшихся местах чёрных шаров (равное ). Перемножив ( почему?) эти числа, получим

Читайте также:  Как поменять дизайн вк на телефоне

(где таково, что , и ) называется гипергеометрическим распределением .

В гипергеометрическом распределении единичная вероятность распределена между подходящими целыми числами неравномерно. Каждому целому числу сопоставлена своя вероятность . На вещественной прямой можно единичную вероятность распределить по-разному. Этим одно распределение отличается от другого: тем, на каком множестве чисел «распределена» общая единичная вероятность, и тем, какие веса, или вероятности, присвоены отдельным точкам или частям этого множества.

1 Jacob Bernoulli (27.12.1654 — 16.08.1705, Basel, Switzerland) .

Предмет теории вероятностей. Статистическая устойчивость

Теория вероятностей изучает закономерности, возникающие в случайных событиях, экспериментах (явлениях). Случайным называют эксперимент, результат которого нельзя предсказать заранее. Невозможность предсказать заранее — основное, что отличает случайное явление от детерминированного.

Не все случайные явления (события) можно изучать методами теории вероятностей, а лишь те, которые могут быть воспроизведены в одних и тех же условиях и обладают свойством «статистической устойчивости»: «если — некоторое событие, которое может произойти или не произойти в результате эксперимента, то доля числа экспериментов, в которых данное событие произошло, стремиться с ростом общего числа экспериментов n к некоторому числу ». Это число служит объективной характеристикой «степени возможности», с которой может произойти событие А.

В дальнейшем мы будем говорить лишь о случайных событиях, обладающих свойством статистической устойчивости.

Пространство элементарных исходов. Алгебра событий

Пространством элементарных исходов («омега») называется множество, содержащее все возможные результаты данного случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один. Элементы этого множества называют элементарными исходами и обозначают буквой («омега») с индексами или без.

Событиями мы будем называть подмножества множества . Говорят, что в результате эксперимента произошло событие А Í , если в эксперименте произошел один из элементарных исходов, входящих в множество А. События обозначаются, как правило, заглавными буквами латинского алфавита: .

Пример 1. Один раз подбрасывается одна игральная кость (кубик). Самый разумный способ задать пространство элементарных исходов таков:

= , элементарные исходы здесь соответствуют числу выпавших очков.

Примеры событий: A = — выпало одно или два очка; A = — выпало нечетное число очков.

Пример 2. Два раза подбрасывается одна игральная кость (кубик). Или, что, то же самое, один раз подбрасываются две игральные кости. Здесь самый разумный способ задать пространство элементарных исходов — считать результатом эксперимента упорядоченную пару чисел , в которой и число очков, выпавших первый раз, – число очков, выпавших второй раз. = .

A = — при первом подбрасывании выпало одно очко;

A = — при двух подбрасываниях выпало одинаковое число очков.

Пример 3. Монета подбрасывается до тех пор, пока не выпадет вверх гербом. Пространство элементарных исходов состоит из бесконечного, но счетного числа исходов:

= , где р и г обозначают выпадение решки и герба при одном подбрасывании, соответственно.

Достоверным называется событие, которое обязательно происходит в результате эксперимента, это единственное событие, включающее все без исключения элементарные исходы — событие (пространство элементарных исходов).

Невозможным называется событие, которое не может произойти в результате эксперимента, то есть событие, не содержащее ни одного элементарного исхода («пустое множество» Æ). Заметим, что всегда Æ Î .

Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если не одно из них не является объективно более возможным, чем другие, т.е. все события имеют равные «шансы». Например, выпадение герба или решки при бросании монеты – равновозможные события.

Пусть и — события.

Объединением событий и называется событие, состоящее в том, что произошло либо , либо , либо оба события одновременно. есть множество, содержащее как элементарные исходы, входящие в , так и элементарные исходы, входящие в .

Произведением событий и называется событие , состоящее в том, что произошли оба события и одновременно. То есть есть множество, содержащее элементарные исходы, входящие одновременно и в ,и в .

Дополнением события до называется событие, состоящее в том, что произошло событие , но не произошло В. То есть есть множество, содержащее элементарные исходы, входящие в , но не входящие в .

Противоположным (или дополнительным) к событию называется событие , состоящее в том, что событие в результате эксперимента не произошло. Иначе говоря, есть множество, содержащее элементарные исходы, не входящие в .

События и называются несовместными, если = Æ.

События А1, А2 , … Аn называются попарно несовместными, если для любых , , события и несовместны.

Замечание. Понятия суммы и произведения событий переносятся на бесконечные последовательности событий:

, .

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector