По формулам Крамера;
Методом Гаусса;
Решение: Теорема Кронекера-Капелли. Система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы этой системы равен рангу ее расширенной матрицы, т. е. r(A)=r(A1), где
, 
.
Расширенная матрица системы имеет вид:
.
Умножим первую строку на (–3),а вторую на (2); прибавим после этого элементы первой строки к соответствующим элементам второй строки; вычтем из второй строки третью. В полученной матрице первую строку оставляем без изменений.
Разделим элементы третьей строки на (6) и поменяем местами вторую и третью строки:
Умножим вторую строку на (–11) и прибавим к соответствующим элементам третьей строки.
Разделим элементы третьей строки на (10).
; 
.
Найдем определитель матрицы А.
.
Следовательно, r(A)=3. Ранг расширенной матрицы r(A1) так же равен 3, т.е.
1) Исследуя систему на совместность, расширенную матрицу преобразовали по методу Гаусса.
Метод Гаусса состоит в следующем:
1. Приведение матрицы к треугольному виду, т. е. ниже главной диагонали должны находиться нули (прямой ход).
2. Из последнего уравнения находим х3 и подставляем его во второе, находим х2, и зная х3, х2 подставляем их в первое уравнение, находим х1 (обратный ход).
Запишем, преобразованную по методу Гаусса, расширенную матрицу
в виде системы трех уравнений:
Þ х3=1
2) Решим систему по формулам Крамера: если определитель системы уравнений Δ отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам
; 
; 
.
Вычислим определитель системы Δ:
Т.к. определитель системы отличен от нуля, то согласно правилу Крамера, система имеет единственное решение. Вычислим определители Δ1, Δ2, Δ3. Они получаются из определителя системы Δ заменой соответствующего столбца на столбец свободных коэффициентов.
Находим по формулам неизвестные:
; 
; 
3) Решим систему средствами матричного исчисления, т. е. при помощи обратной матрицы.
А×Х=В Þ Х=А -1 × В, где А -1 – обратная матрица к А,
— столбец свободных членов,
— матрица-столбец неизвестных.
Обратная матрица считается по формуле:
(*)
где D — определитель матрицы А, Аij – алгебраические дополнения элемента аij матрицы А. D = 60 (из предыдущего пункта). Определитель отличен от нуля, следовательно, матрица А обратима, и обратную к ней матрицу можно найти по формуле (*). Найдем алгебраические дополнения для всех элементов матрицы А по формуле:
Запишем обратную матрицу.
.
Сделаем проверку по формуле: А -1 × А=Е.
Вывод: так как произведение А -1 × А дает единичную матрицу, то обратная матрица А -1 найдена верно и решение системы определяется по формуле Х=А -1 ×В.
.
Проверка. Подставим полученные значения в систему. Получим:
Т. к. неизвестные х1 , х2, х3 обратили каждое уравнение в тождество, то они найдены верно.
Пример 6. Решить систему методом Гаусса и найти какие-нибудь два базисных решения системы.
Дата добавления: 2014-11-07 ; Просмотров: 3839 ; Нарушение авторских прав? ;
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
найдем решение задачи, методом матричного исчисления.
Чтобы записать ее виде матричного уравнения и решить это матричное уравнение, используем правила действия над матрицами.
Для этого введем обозначения:
,
,
Далее, система записывается в виде следующего уравнения 
, откуда следует, что 
. Найдем обратную 
матрицу для матрицы А. Посчитаем сначала алгебраические дополнения 
для элементов 
матрицы А.
, 
,
,
,
,
,
,
Найдем определитель 
.
По формуле для отыскания обратной матрицы имеем
Найдем матрицу строку Х, которая и даст решение системы
Даны 2 линейных преобразования. Средствами матричного исчисления найти преобразовани, выражающее X2, Y2, Z2 через X, Y, Z
X1 = 2Y — 4Z
Y1 = X + 3Y + Z
Z1 = 3X — 2Y + 2Z
X2 = 3X1 + 2Z1
Y2 = X1 — 2Y1 + Z1
Z2 = 4X1 + Y1- 3Z1
