Сумма арифметической прогрессии вывод формулы

Девизом нашего урока будут слова русского математика В.П. Ермакова: «В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления».

Ход урока

Постановка проблемы

На доске — портрет Гаусса. Учитель или ученик, которому заранее было дано задание подготовить сообщение, рассказывает, что когда Гаусс учился в школе, учитель предложил учащимся сложить все натуральные числа от 1 до 100. Маленький Гаусс решил эту задачу за минуту.

Вопрос. Как Гаусс получил ответ?

Поиск путей решения

Учащиеся высказывают свои предположения, затем подводится итог: сообразив, что суммы 1 + 100, 2 + 99 и т.д. равны, Гаусс умножил 101 на 50, то есть на число таких сумм. Иначе говоря, он заметил закономерность, которая присуща арифметической прогрессии.

Вывод формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии

Записать на доске и в тетрадях тему урока. Ученики вместе с учителем записывают вывод формулы:

Первичное закрепление

1. Решим, используя формулу (1), задачу Гаусса:

2. Используя формулу (1), устно решить задачи (их условия записаны на доске или кодопозитиве), (a_n) — арифметическая прогрессия:

3. Выполнить задание.

Дано: (a_n) — арифметическая прогрессия;

Решение. Воспользуемся формулой суммы n первых членов арифметической прогрессии

;

Дополнительный вопрос. Сколько типов различных задач можно решить по этой формуле?

Ответ. Четыре типа задач:

— найти первый член арифметической прогрессии a₁;

— найти n-й член арифметической прогрессии a_n;

— найти количество членов арифметической прогрессии.

4. Выполнить задание: № 369(б).

Найдите сумму шестидесяти первых членов арифметической прогрессии (a_n), если a₆₀ = 51,5.

Решение.

Дополнительный вопрос. Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии.

5. Вычислите формулу девяти первых членов арифметической прогрессии (b_n),
если b₁ = –17, d = 6.

— Можно ли вычислить сразу, используя формулу?

— Нет, так как неизвестен девятый член.

— По формуле n-го члена арифметической прогрессии.

Вопрос. А нельзя ли найти сумму, не вычисляя девятого члена прогрессии?

Проблема: получить формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии, зная ее первый член и разность d.

(Вывод формулы у доски учеником.)

Решим № 371(а) по новой формуле (2):

Устно закрепим формулы (2) (условия задач записаны на доске).

(a_n) — арифметическая прогрессия.

Выяснить у учащихся, какие вопросы непонятны.

Ученики меняются тетрадями и проверяют решения друг у друга.

Подвести итог усвоения материала по результатам самостоятельной работы.

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Историческая справка: Иога́нн Карл Фри́дрих Га́усс (1777 — 1855) — немецкий математик, механик, физик и астроном. Считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков». Лауреат медали Копли (1838), иностранный член Шведской (1821) и Российской (1824) Академий наук, английского Королевского общества. Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Юный Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных в одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: 101×50=5050.

2. Вывод формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии

Рассмотрим аналогичную задачу для произвольной арифметической прогрессии.

Дано:

Покажем, что все выражения в скобках равны между собой, а именно выражению . Пусть d – разность арифметической прогрессии. Тогда:

;

; и т.д. Следовательно, мы можем записать:

. Откуда получаем формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии:

.

3. Решение задач на применение формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии

1. Решим задачу о сумму натуральных чисел от 1 до 100 с помощью формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии:

.

В нашем случае: .

2. Дано: .

Найти: .

.

В нашем случае: .

Ответ: .

3. Дано: .

Найти: .

Чтобы найти Это можно сделать по общей формуле .Сначала применим эту формулу для нахождения разности арифметической прогрессии.

Теперь можем найти .

.

Используя формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии

.

.

Ответ: .

4. Вывод второй формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии

Получим вторую формулу для суммы первых n членов арифметической прогрессии, а именно: докажем, что .

В формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии Проанализируем полученные формулы. Для вычислений по первой формуле И в заключение заметим, что в любом случае S_n– это квадратичная функция от n, потому что .

5. Решение задач на применение второй формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии

1. Дано: .

Найти: .

.

В нашем случае:.

2. Найти сумму всех двузначных чисел, кратных 4.

<12; 16; 20; …; 96>– множество чисел, удовлетворяющих условию задачи.

Значит, имеем арифметическую прогрессию .

n найдем из формулы для .

Ответ: .

3. Дано: .

Найти: S=.

Требуется найти сумму всех членов с 10 по 25-й включительно.

Один из способов решения заключается в следующем:

.

Следовательно, .

.

.

.

Ответ: .

6. Итог урока

Итак, мы вывели формулы для суммы членов конечной арифметической прогрессии. Использовали эти формулы при решении некоторых задач.

На следующем уроке мы познакомимся с характеристическим свойством арифметической прогрессии.

Список рекомендованной литературы

1. Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс (учебник для средней школы).-М.: Просвещение, 1992.

2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков, К.И. Алгебра для 9 класса с углубл. изуч. математики.-М.: Мнемозина, 2003.

3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г Дополнительные главы к школьному учебнику алгебры 9 класса.-М.: Просвещение, 2002.

4. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики).-М.: Просвещение, 1996.

5. Мордкович А.Г. Алгебра 9 класс, учебник для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

6. Мордкович А.Г. , Мишутина Т.Н., Тульчинская Е.Е. Алгебра 9 класс, задачник для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

7. Глейзер Г.И. История математики в школе. 7-8 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Раздел College.ru по математике (Источник).

2. Портал Естественных Наук (Источник).

3. Exponenta.ru Образовательный математический сайт (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. № 362, 371, 377, 382 (Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс).

2. № 12.96 (Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов).

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

Арифметическая прогрессия ] [Калькулятор] [Задачи]
Арифметическая прогрессия — арифметический ряд первого порядка — последовательность чисел, в которой каждый член (начиная со второго) получается из предыдущего путем прибавления к нему одного и того же числа d, называемого разностью этой арифметической прогрессии.

Каждая арифметическая прогрессия имеет вид a, a + d, a + 2d, a + 3d, ..

Общий член арифметической прогрессии an = a1 + d(n — 1)

Характеристическое свойство арифметической прогрессии an = (an + 1 + an — 1) / 2

Если разность арифметической прогрессии d > 0, то прогрессия называется возрастающей, если d Похожие вопросы

«>