Сумма расстояний от произвольной внутренней точки

дПЛБЦЙФЕ, ЮФП УХННБ ТБУУФПСОЙК ПФ МАВПК ФПЮЛЙ ЧОХФТЙ ДБООПЗП ТБЧОПУФПТПООЕЗП ФТЕХЗПМШОЙЛБ ДП ЕЗП УФПТПО ЧУЕЗДБ ПДОБ Й ФБ ЦЕ.

фБЛЦЕ ДПУФХРОЩ ДПЛХНЕОФЩ Ч ЖПТНБФЕ TeX

рПДУЛБЪЛБ

уПЕДЙОЙФЕ ФПЮЛХ ЧОХФТЙ ФТЕХЗПМШОЙЛБ У ЕЗП ЧЕТЫЙОБНЙ Й УМПЦЙФЕ РМПЭБДЙ РПМХЮЕООЩИ ФТЕХЗПМШОЙЛПЧ.

фБЛЦЕ ДПУФХРОЩ ДПЛХНЕОФЩ Ч ЖПТНБФЕ TeX

тЕЫЕОЙЕ

рХУФШ M — ФПЮЛБ ЧОХФТЙ ТБЧОПУФПТПООЕЗП ФТЕХЗПМШОЙЛБ ABC УП УФПТПОБНЙ AB = AC = BC = a . пВПЪОБЮЙН ЮЕТЕЪ h ЧЩУПФХ ФТЕХЗПМШОЙЛБ ABC , ЮЕТЕЪ h 1 , h 2 , h 3 — ЧЩУПФЩ ФТЕХЗПМШОЙЛПЧ MBC , MAC Й MAB , ПРХЭЕООЩЕ ЙЪ ЧЕТЫЙОЩ M . фПЗДБ

уМЕДПЧБФЕМШОП, h 1 + h 2 + h 3 = h , ДМС МАВПК ФПЮЛЙ, ТБУРПМПЦЕООПК ЧОХФТЙ ФТЕХЗПМШОЙЛБ ABC .

рТПЧЕДЈН ЮЕТЕЪ ФПЮЛХ ЧОХФТЙ ДБООПЗП ФТЕХЗПМШОЙЛБ РТСНЩЕ, РБТБММЕМШОЩЕ УФПТПОБН ФТЕХЗПМШОЙЛБ. рПМХЮЙН ЫЕУФШ ЖЙЗХТ, ФТЙ ЙЪ ЛПФПТЩИ — ТБЧОПУФПТПООЙЕ ФТЕХЗПМШОЙЛЙ. уХННБ ЙИ ЧЩУПФ ТБЧОБ ЧЩУПФЕ ДБООПЗП ФТЕХЗПМШОЙЛБ.

фБЛЦЕ ДПУФХРОЩ ДПЛХНЕОФЩ Ч ЖПТНБФЕ TeX

йУФПЮОЙЛЙ Й РТЕГЕДЕОФЩ ЙУРПМШЪПЧБОЙС

рТПЕЛФ ПУХЭЕУФЧМСЕФУС РТЙ РПДДЕТЦЛЕ Й .

Если известна сумма расстояний от внутренней точки до вершин треугольника, то что можно сказать об этой величине?

Сумма расстояний от произвольной внутренней точки до вершин треугольника больше полупериметра этого треугольника.

F — внутренняя точка треугольника ABC,

Из треугольника ABF согласно неравенству треугольника

AB]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>

Аналогично, из треугольника ACF:

AC]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>

из треугольника BCF:

BC]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>

Сложим почленно все три неравенства:

AB\ AF + CF > AC\ BF + CF > BC end
ight.> ]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>

AB + AC + BC]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>

AB + AC + BC]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>

Разделим обе части неравенства на 2:

frac<><2>,]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>

p.]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>

Ответ или решение 2

M — произвольная точка внутри равностороннего треугольника ABC.

Отрезки МА, МВ, МС разбивают треугольник АВС на три треугольника.

Расстояния от точки М до сторон АВ, ВС, АС: MQ, MO, MP.

Для треугольников АМС, АМВ, ВСМ эти отрезки будут высотами.

Площадь треугольника ABC как сумма площадей трех треугольников с равными основаниями a:

S = (АВ * МО) / 2 + (BC * MP) / 2 + (AC * MQ) =

= (a * MO) / 2 + (a * MP) / 2 +(a * MQ) / 2 =

Решение

Пусть треугольник ABC равносторонний, т.е. AB=BC=CA=a, и AH — его высота, проведенная из вершины A к стороне BC. По условию задачи AH = 6см.

Рассмотрим произвольную точку M внутри треугольника ABC. Проведем перпендикуляры MA1, MB1 и MC1 из этой точки к сторонам треугольника BC, CA и AB соответственно.

Поскольку расстояние от точки до прямой определяется по перпендикуляру, опущенному из этой точки к прямой, то длины высот MA1, MB1 и MC1 как раз и будут расстояниями от точки M до сторон треугольника ABC (см. рис. http://bit.ly/2zuHhXB).

Площадь треугольника ABC

Рассмотрим треугольники ABM, BCM, CAM и вычислим их площади. Так как перпендикуляры MA1, MB1 и MC1 являются высотами для этих треугольников, то для их площадей получим выражения:

Поскольку треугольник ABC разделен на три треугольника (ABM, BCM и CAM), то его площадь равна сумме площадей этих треугольников:
S(ABC) = S(ABM) + S(BCM) + S(CAM).

Подставив в это уравнение значения для S(ABM), S(BCM), S(CAM) и выполнив простые преобразования, получим:

S(ABC) = 1/2*AB*MC1 + 1/2*BC*MA1 + 1/2*CA*MB1;

S(ABC) = 1/2*a*MC1 + 1/2*a*MA1 + 1/2*a*MB1;

S(ABC) = 1/2*a (MC1 + MA1 + MB1) (1).

Составление и решение уравнения

Но с другой стороны, площадь треугольника ABC равна: