Теорема Лагранжа о среднем значении утверждает, что если функция (fleft( x
ight)) непрерывна на отрезке (left[
ight]) и дифференцируема на интервале (left(
ight),) то в этом интервале существует хотя бы одна точка (x = xi,) такая, что [fleft( b
ight) — fleft( a
ight) = f’left( xi
ight)left(
ight).] Данная теорема называется также формулой конечных приращений , поскольку она выражает приращение функции на отрезке через значение производной в промежуточной точке этого отрезка.
Доказательство .
Рассмотрим вспомогательную функцию [Fleft( x
ight) = fleft( x
ight) + lambda x.] Выберем число (lambda) таким, чтобы выполнялось условие (Fleft( a
ight) = Fleft( b
ight).) Тогда [ ;; <Rightarrow fleft( b
ight) — fleft( a
ight) = lambda left(
ight),>;; <Rightarrow lambda = — frac<><>.> ] В результате получаем [ <- frac<><>x.> ] Функция (Fleft( x
ight)) непрерывна на отрезке (left[
ight],) дифференцируема на интервале (left(
ight)) и принимает одинаковые значения на концах интервала. Следовательно, для нее выполнены все условия теоремы Ролля . Тогда в интервале (left(
ight)) существует точка (xi,) такая, что [F’left( xi
ight) = 0.] Отсюда следует, что [f’left( xi
ight) — frac<><> = 0] или [fleft( b
ight) — fleft( a
ight) = f’left( xi
ight)left(
ight).] Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл . Хорда, проходящая через точки графика, соответствующие концам отрезка (a) и (b,) имеет угловой коэффициент, равный [
ight]) существует точка (x = xi,) в которой касательная к графику функции параллельна хорде (рисунок (1)).
Теорема Лагранжа имеет также наглядную физическую интерпретацию . Если считать, что (fleft( t
ight)) описывает координату тела при перемещении вдоль прямой в зависимости от времени (t,) то отношение [frac<><>] представляет собой среднюю скорость тела в промежутке времени (b — a.) Поскольку (f’left( t
ight)) − это мгновенная скорость, то данная теорема означает, что существует момент времени (xi,) в который мгновенная скорость равна средней скорости.
Теорема Лагранжа имеет множество приложений в математическом анализе, вычислительной математике и других областях. Укажем далее два замечательных следствия .
Следствие (1) .
В частном случае, когда значения функции (fleft( x
ight)) на концах отрезка (left[
ight]) равны, т.е. (fleft( a
ight) = fleft( b
ight),) из теоремы Лагранжа вытекает, что найдется точка (xi in left(
ight),) такая, что [ > =»» 0,> ] т.е. мы получаем теорему Ролля , которую можно рассматривать как частный случай теоремы Лагранжа.
Следствие (2) .
Если производная (f»left( x
ight)) равна нулю во всех точках отрезка (left[
ight],) то функция (fleft( x
ight)) является постоянной на этом отрезке. Действительно, для любых двух точек (
ight]) существует точка (xi in left(
ight),) такая, что [
ight) — fleft( <
ight) > =
ight)^prime > > = <2x — 3.>] Найдем координаты точки (xi:) [ >,>;;
ight) — left( <<1^2>— 3 cdot 1 + 5>
ight)>><<4 - 1>>,>;;
ight).)
Проверить справедливость теоремы Лагранжа для функции [fleft( x
ight) =»» frac<
ight].)
На кривой (y =»»
ight),) касательная в которой параллельна хорде, соединяющей точки (Oleft( <0,0>
ight)) и (Aleft( <2,8>
ight)) (рисунок (3)).
Составить формулу конечных приращений для квадратичной функции (fleft( x
ight) =»» a
С помощью формулы Лагранжа (или формулы конечных приращений) можно вычислить значение функции в точке (x + Delta x,) если известно значение функции (fleft( x
ight)) в точке (x) и значение производной (f»left( xi
ight)) в некоторой промежуточной (xi.) Запишем данную формулу в таком виде: [fleft(
ight) = fleft( x
ight) + f’left( xi
ight)Delta x.] Найдем теперь координату (xi) (в которой вычисляется производная) для квадратичной функции. Производная квадратичной функции записывается в виде [ <2ax + b.>] Подставляя в формулу Лагранжа выражения для функции (fleft( x
ight)) и ее производной, получаем: [
ight)^2> + bleft(
ight) + c =»» a
ight)Delta x,>;;
ight)^2> + cancel
ight)^2> =»» 2axi Delta x,>;;
ight) =»» 2axi Delta x,>;;
ight),>;;
ormalsize,) т.е. смещенной относительно (x) на половину приращения (Delta x.) Этот результат справедлив для любой квадратичной функции при произвольных значениях (x) и (Delta x.) Таким образом, окончательная формула для квадратичной функции имеет вид [
ight) > =»»
ight)Delta x.> ] В соответствии с теоремой Лагранжа, касательная, проведенная в точке (xi = x + largefrac<<Delta x>><2>
ormalsize,) будет параллельна хорде, соединяющей точки (Aleft(
ight)) и (Bleft(
ight)>
ight)) (рисунок (4)).
Функция () всюду непрерывна и дифференцируема. Показать, что если функция () имеет два действительных корня, то ее производная (
><>,] где (xi) − некоторая точка, лежащая в открытом интервале (left(
ight).)
Поскольку ( = 0,) то [f’left( xi
ight) = frac<<0 — 0>><
> = 0.] Таким образом, производная (
ight).) Определить максимально возможное значение функции при (x = 10.)
Для оценки значения ( <10>
ight)>) воспользуемся формулой Лагранжа, которая записывается как [fleft( <10>
ight) — fleft( 2
ight) = f’left( xi
ight)left( <10 — 2>
ight),] где (xi) − некоторая точка, лежащая в интервале (left( <2,10>
ight).)
Перепишем эту формулу в виде [fleft( <10>
ight) = fleft( 2
ight) + 8f’left( xi
ight).] Максимально возможное значение производной на данном интервале составляет (f’left( x
ight) = 4.) Следовательно, [fleft( <10>
ight) le fleft( 2
ight) + 8 cdot 4 = 4 + 32 = 40.] Таким образом, максимально возможное значение функции на правой границе интервала равно (40.)
Следующее утверждение является одним из наиболее часто используемых и важных средств исследования числовых функций.
Теорема 1 (теорема Лагранжа о конечном приращении). Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема в интервале то найдется точка такая, что
Для доказательства рассмотрим вспомогательную функцию
которая, очевидно, непрерывна на отрезке дифференцируема в интервале и на его концах принимает равные значения: Применяя к теорему Ролля, найдем точку в которой
Замечания к теореме Лагранжа. 1° Геометрически теорема Лагранжа означает (рис. 21), что в некоторой точке где
касательная к графику функции будет параллельна хорде, соединяющей точки ибо угловой коэффициент последней равен
2° Если х интерпретировать как время, а — как величину перемещения за время частицы, движущейся вдоль прямой, то теорема Лагранжа означает, что скорость частицы в некоторый момент такова, что если бы в течение всего промежутка времени частица двигалась с постоянной скоростью то она сместилась бы на ту же величину Величину естественно считать средней скоростью движения в промежутке
3° Отметим, однако, что при движении не по прямой средней скорости в смысле замечания 2° может не быть. Действительно, пусть, например, частица движется по окружности единичного радиуса с постоянной угловой скоростью Закон ее движения, как мы знаем, можно записать в виде
В моменты частица находится в одной и той же точке плоскости и равенство
означало бы, что но это невозможно.
Однако мы сознаем, что зависимость между перемещением за некоторый промежуток времени и скоростью движения все же имеется. Она состоит в том, что даже вся длина пройденного пути не может превышать максимальной по величине скорости, умноженной на время в пути. Сказанное можно записать в следующей более точной форме:
Как будет в свое время показано, это естественное неравенство действительно всегда справедливо. Его тоже называют теоремой Лагранжа о конечном приращении, а формулу (2), справедливую только для числовых функций, часто называют теоремой Лагранжа о среднем значении (роль среднего в данном случае играет как величина скорости, так и точка лежащая между а и
4° Теорема Лагранжа важна тем, что она связывает приращение функции на конечном отрезке с производной функции на этом отрезке. До сих пор мы не имели такой теоремы о конечном приращении и характеризовали только локальное (бесконечно малое) приращение функции через производную или дифференциал в фиксированной точке.
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения:
Как то на паре, один преподаватель сказал, когда лекция заканчивалась — это был конец пары: "Что-то тут концом пахнет". 8526 — 
| 8113 — 
или читать все.
91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.
Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно
Если функция и дифференцируема на интервале , то , , где .
Геометрический смысл (для случая одной переменной): на дуге графика данной функции, соединяющей точки и , найдется точка , (и, возможно, не одна), в которой касательная к графику функции параллельна хорде, соединяющей концы дуги.
Доказательство
Рассмотрим функцию где число выберем таким, чтобы выполнялось условие , т.е. . Отсюда находим: .
Так как функция непрерывна на отрезке , дифференцируется на интервале и принимает равные значения на концах этого интервала то, по теореме Ролля, существует точка такая, что . Отсюда получаем, что , или
Доказать, что , 0" title="x>0" /> (*),
, , . (**)
а) Применяя теорему Лагранжа к функции на отрезке , где 0" title="x>0" />, получаем , откуда следует неравенство (*), так как .
б) По теореме Лагранжа для функции на отрезке с концами и находим
$$arctan x_ <2>— arctan x_<1>=frac<1><1+xi ^<2>>(x_<2>-x_<1>),$$
откуда получаем , так как .
Полагая в соотношении (**) , , получаем
, ,
и, в часности,
, .
