Теорема о сжимающем отображении

Теорема о сжимающем отображении

6.2. Принцип сжимающих отображений

Ряд вопросов, связанных с существованием и единственностью решений уравнений того или иного типа (например, дифференциальных или алгебраических уравнений), можно сформулировать в виде вопроса о существовании и единственности неподвижной точки при некотором отображении соответствующего метрического пространства в себя. Среди различных критериев существования и единственности неподвижной точки при такого рода отображениях один из простейших и в то же время наиболее важных – так называемый принцип сжимающих отображений .

Отображение A метрического пространства M в себя называется сжимающим отображением (сжатием), если существует такое число , что для любых двух точек выполняется неравенство

. (1)

Точка x называется неподвижной точкой отображения A, если Ax=x. Иначе говоря, неподвижные точки – это решения уравнения Ax=x.

Теорема. (Принцип сжимающих отображений).

Всякое сжимающее отображение, определенное в полном метрическом пространстве M, имеет одну и только одну неподвижную точку.

Пусть -произвольная точка в M. Положим Покажем, что последовательность фундаментальная. Действительно, считая для определенности , имеем

Так как , то при достаточно большом n эта величина сколь угодно мала. В силу полноты M последовательность , будучи фундаментальной, имеет предел.

Положим .

Если , то в силу (1) . Поэтому

.

Итак, существование неподвижной точки доказано. Докажем ее единственность.

Если , то (1) принимает вид

.

Так как , отсюда следует, что

.

6.2.1. Пусть f – функция, определенная на отрезке [a,b] и удовлетворяющая условию Липшица

сходится к единственному корню уравнения . В частности, условие сжимаемости выполнено, если функция дифференцируема и .

— получили одно решение в точке 0, так как в точке 1 нарушается сжимаемость, т.е. замкнутое изображение не сжимающее.

Сжимаемости нет, так как при каждой итерации расстояние увеличивается.

Определение метрического пространства

Лекция №9. Элементы теории метрических пространств

Потребности науки и техники потребовали изучения значительно более общего понятия пространства по сравнению с эвклидовым пространством. Ниже мы рассмотрим основные понятия теории метрических пространств, то есть множеств, состоящих из элементов произвольной природы, на которое накладывается только одно требование: должно быть определено понятие расстояния между его элементами, удовлетворяющее некоторым условиям.

Читайте также:  Дополнительные возможности документов pdf

Определение. Метрическим пространством называется всякое множество элементов произвольной природы вместе с однозначной, неотрицательной, действительной функцией, определенной для любых элементовииз, удовлетворяющих следующим трем условиям:

1. тогда и только тогда, когда ;

2. аксиома симметрии;

3. для любых трех элементов выполняется неравенство аксиома треугольника.

Определение. Элементы и метрического пространства называют точками, функцию– расстоянием между точкамии, а само метрическое пространство, т.е. паруобозначают одной буквой.

Пример 1. Множество действительных чисел с расстоянием

образует метрическое пространство , а также пространство являются полными.

Вопрос о существовании и единственности решений алгебраических, трансцендентных, дифференциальных и других типов уравнений можно сформулировать в виде вопроса о существовании и единственности неподвижной точки при некотором отображении соответствующего метрического пространства в себя. Одним из критериев существования и единственности неподвижной точки при такого рода отображениях является так называемый принцип сжимающих отображений.

Отображение метрического пространства в себя называется сжимающим отображением, если существует такое число , что для любых двух точек и пространства выполняется неравенство

Точка называется неподвижной точкой отображения , если выполняется равенство

Можно показать, что имеет место следующее утверждение.

Теорема (Принцип сжимающих отображений).Всякое сжимающее отображение, определенное в полном метрическом пространстве , имеет одну и только одну неподвижную точку.

Принцип сжимающих отображений можно использовать для доказательства существования и единственности решений для уравнений различных типов. Следует отметить, что принцип сжимающих отображений позволяет не только доказать существование и единственность решения, но и дает метод нахождения приближенного решения. Этот метод называют методом итераций или методом последовательных приближений.

Рассмотрим применение этого метода к отысканию приближенного решения уравнения

где функция определена на промежутке и удовлетворяет условию Липшица

с константой и отображает промежуток в себя.

В этом случае есть сжимающее отображение и, согласно сформулированной выше теореме последовательность чисел

сходится к единственному корню уравнения (9.1).

Читайте также:  Как загрузить видео с яндекса на компьютер

Если функция имеет на промежутке производную (9.3)

где – некоторая постоянная, то легко видеть, что условие сжатости (9.2) выполнено.

Пример 1. На промежутке найти действительный корень уравнения

Записав данное уравнение в виде (9.1), получим

Легко проверяется, что производная на промежутке принимает только отрицательные значения, но условие (9.2) по-прежнему выполняется. Используя метод итераций и положив вначале уже на 10-том шаге получим .

Таким образом, корнем исходного уравнения является .

Геометрически метод итераций можно пояснить следующим образом. Построим на плоскости графики функций и . Каждый вещественный корень уравнения (9.1) является абсциссой точки пересечения кривой с прямой (рис.3).

Отправляясь от некоторой точки , построим ломаную линию («Лестница»), звенья которой попеременно параллельны оси и оси , так что вершины лежат на кривой , а вершины на прямой . Общие абсциссы точек и , и , и … представляют собой последовательные приближения к корню .

Возможен также (рис.4) другой вид ломаной («Спираль»). Легко заметить, что решение в виде «лестницы» получается, если производная отрицательна.

где и – некоторые постоянные. Введем в рассмотрение функцию

где – некоторая постоянная и заметим, что решение уравнения равносильно решению уравнения .

Так , то, используя (9.4) будем иметь

и заметим, что на промежутке выполняется неравенство

| следующая лекция ==>
Курортных услуг | ЛЕКЦИЯ 7. Момент силы относительно точки и оси

Дата добавления: 2014-01-20 ; Просмотров: 906 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Норма оператора. З афиксируем в R" скалярное произведение и будем обозначать через ||дг|| = у](х,х), х е R n , корень из скалярного квадрата х.

Пусть A: R n —> R n — линейный оператор.

Определение 2.5. Нормой оператора А называется число

Геометрически ||Л || означает наибольший коэффициент растяжения преобразования А.

Метрическое пространство операторов. Множество L всех линейных операторов A: R" —> R п само является линейным пространством над полем R (по определению + ХВ)х = Ах + ХВх).

Читайте также:  Въезд на территорию детского сада

Определим расстояние между двумя операторами как норму их разности:

Метрическим пространством называется пара, состоящая из множества М и функции р:МхМ-)Е, называемой метрикой, если:

  • 1) р(х, у) > 0, причем р(х, у) = 0 х = у
  • 2) р(х7у) = р(у,х) для любых х, у е М
  • 3) р(х, у) О существует такое N, что для любых iyj, больших N, верно, что р(х;, xj) 0, если А ф В, и р = 0, если А = В, причем р(А, В) = р(В, А). Неравенство треугольника р(А, В)

Докажем его полноту.

Пусть <Л,>— последовательность Коши, т.е. для любого е > О существует ;V(e), такое что р(Лт, Ак) N.

Пусть х е К". Составим последовательность точек х, е R": х, = Л,х. Покажем, что <х,>— последовательность Коши в пространстве М", снабженном евклидовой метрикой р(х, у) = ||х — у||. Действительно, по определению нормы оператора при т, k > N верно, что

Поскольку ||х|| — фиксированное (не зависящее от т, к) число, из последнего неравенства следует, что <х,>— последовательность Коши. Пространство К." — полное, поэтому существует предел

Заметим, что ||х* — у|| N <€),причем Л г (е) — не зависящее от х число (то же, что и ранее, в начале доказательства).

Точка у зависит от х линейно (предел суммы равен сумме пределов). Мы получаем линейный оператор A: R" —> М”, Ах -у,А& L. Мы видим, что при k > N(e) верно, что

Значит, lim Ак и пространство L полно.

Сжатые отображения. Пусть А: М —> М — отображение метрического пространства М в себя.

Определение 2.7. Отображение А называется сжатым, если существует постоянная X, такая что 0 2 х, А 3 х, . сходится к неподвижной точке.

Доказательство. Пусть р(х, Ах) = d. Тогда р(А"х, А" +, х)

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector