Три стрелка независимо друг от друга

Три стрелка независимо друг от друга

Ответ или решение 1

А – первый стрелок попадёт в цель.

В – второй стрелок попадёт в цель.

С — третий стрелок попадёт в цель.

Следовательно, вероятности по условию равны р(А) = 0,75, р(В) = 0,8, р(С) = 0,9.

Найдём вероятность одновременного попадания всех стрелков в цель.

р(А∩В∩С) = 0,75 ∙ 0,8 ∙ 0,9 = 0,54.

Ответ: вероятность одновременного попадания в цель всех стрелков равна 0,54.


Загрузить всю книгу

4.4.3. Вероятность появления хотя бы одного события

Вероятность того, что произойдет, по крайней мере, одно из событий ,

определяется по формуле:

Теорема 5. Вероятность появления хотя бы одного из событий (А1, А2,…,Аn), независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий.

Студент сдает два экзамена в сессию. Вероятность сдать первый экзамен р1=0,8. Вероятность сдать второй экзамен р2=0,7. Какова вероятность, что студент сдаст хотя бы один экзамен в сессию.

Вероятность события «не сдать первый экзамен» равна:

Вероятность «не сдать второй экзамен»: q2=1– р2=1–0,7=0,3.

Оба события независимы. Вероятность события Р(А), где событие А – «студент сдаст хотя бы один экзамен», вычисляется по формуле (4.8):

Три стрелка стреляют в цель независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,6, для второго 0,7 и для третьего 0,75.

  1. Хотя бы одного попадания в цель, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу.
  2. Одного и только одного попадания в цель.
  3. «Попадут в цель только два стрелка».
  4. «Попадут в цель все стрелки одновременно».
  5. Промаха всех стрелков одновременно.

Пусть А, В, С – события, состоящие в том, что соответственно в цель попал первый, второй, третий стрелок. Из условия задачи следует, что:

Читайте также:  Linux mint как запустить программу

Р(А) = 0,6; Р(В) = 0,7; Р(С) = 0,75.

1) Вероятность хотя бы одного попадания в цель равна: Р(А + В + С).

Событие (А+В+С) – хотя бы одно попадание в цель. Вероятность хотя бы одного попадания в цель по формуле (4.8): P ( A + B + C )=1- P ( ` A ) × P ( ` B ) × P ( ` C ).

P(A+B+C)=1– (1–0,6)×(1– 0,7)×(1– 0,75)=1– 0,4×0,3×0,25 =1-0,03= 0,97.

2) Вероятность только одного попадания в цель.

Пусть D – событие, состоящее в том, что в цель попал только один стрелок. События «хотя бы одно попадание» и «одно попадание» – разные события. В задаче одно и только одно попадание – это событие D, состоящее из суммы событий: D = A × ` B × ` C +` A × B × ` C +` A × ` B × C .

Его вероятность из-за независимости стрельбы и несовместности слагаемых событий может быть определена по формулам (4.2а), (4.7):

.

3) Вероятность того, что попадут в цель только два стрелка.

Пусть X – событие, состоящее в том, что в цель попали только два стрелка.

X= ` A × B × C+ ` B × A × C+ ` C × A × B.

Тогда вероятность того, что попадут в цель только два стрелка, равна:

.

P(X)=(1– 0,6)×0,7×0,75+0,6×(1– 0,7)×0,75+0,6×0,7×(1– 0,75)=0,21+0,135+0,105 =0,45.

4) Вероятность того, что попадут в цель все стрелки одновременно.

Событие ABC – все стрелки попали в цель.

Вероятность того, что попадут в цель все стрелки одновременно равна:

P(A × B × C) = P(A) × P(B) × P(C) = 0,6 × 0,7 × 0,75 = 0,315.

5) Вероятность промаха всех стрелков одновременно Р().

Событие ` A × ` B × ` C – все промахнулись. Вероятность промаха всех стрелков одновременно: P `( A × ` B × ` C )=0,4 × 0,3 × 0,25=0,03.

Для проверки правильности решения используют формулу (4.3) для полной группы событий:

Р (D) + P(X) + P(A × B × C) + Р ( ` A × ` B × ` C) = 0,205 + 0,45 + 0,315 + 0,03 = 1.

Читайте также:  Зачем нужны пальцы на ногах человеку

Примеры решения некоторых типов задач

Теория вероятностей

Задача 1.

Три стрелка стреляют в цель независимо друг от друга. Первый стрелок попадает в цель с вероятностью 0,6, второй – с вероятностью 0,7, а третий – с вероятностью 0,75. Найти вероятность 1) хотя бы одного попадания в цель, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу; 2) Первый и второй попадут в цель, а третий промахнется; 3) Трое стреляют, один промахнется; 4) Стреляют двое: первый и второй. Хотя бы один попадет.

Решение.

Событие Аi – «i – й стрелок попал в цель», противоположное событие – «i – й стрелок не попал в цель», i = 1, 2, 3. Вероятности этих событий

Р(А1) = 0,6, Р( ) = 1 — Р(А1) = 1 — 0,6 = 0,4;

Р(А2) = 0,7, Р( ) = 1 — Р(А2) = 1 — 0,7 = 0,3;

Р(А3) = 0,75, Р( ) = 1 — Р(А3) = 1 — 0,75 = 0,25.

1) Событие А — «хотя бы один стрелок попал в цель», противоположное событие – «ни один стрелок не попал в цель».

Событие можно записать так . Результаты выстрела любого из стрелков не зависят от результатов выстрелов других стрелков. Поэтому вероятность события равна Р( ) = Р( ) = 0,4 ∙ 0,3 ∙ 0,25 = 0,03.

Искомая вероятность события А равна Р(А) = 1 — Р( ) = 1 — 0,03 = 0,97.

2) Событие А — «Первый и второй попадут в цель, а третий промахнется», можно записать так . Результаты выстрела любого из стрелков не зависят от результатов выстрелов других стрелков. Поэтому вероятность события равна Р( ) = Р( ) = 0,6 ∙ 0,7 ∙ 0,25 = 0,105.

3) Событие В – «Трое стреляют, один промахнется», представляет собой совокупность (сумму) трех вариантов событий В = В1 + В2 + В3, где , , . Эти события не зависят друг от друга. Поэтому вероятность события В равна Р(В123) = Р(В1) + Р(В2) + Р(В3) = 0,6 ∙ 0,7 ∙ 0,25 + 0,6 ∙ 0,3 ∙ 0,75 + 0,4 ∙ 0,7 ∙ 0,75 = 0,105 + 0,135 + 0,21 = 0,45.

Читайте также:  Информация об оборудовании компьютера

4) Стреляют двое: первый и второй. Событие А – «Хотя бы один попадет» является суммой совместных событий А = А1 + А2. Тогда искомая вероятность Р(А12) = Р(А1) + Р(А2) – Р(А1А2) = 0,6 + 0,7 – 0,6 ∙ 0,7 = 0,88.

Ответ: 1) Вероятность хотя бы одного попадания в цель равна 0,97. 2) Вероятность того, что первый и второй попадут в цель, а третий промахнется, равна 0,105. 3) Вероятность того, что трое стреляют, один промахнется, равна 0,453. 4) Вероятность того, что стреляют двое: первый и второй, и хотя бы один попадет, равна 0,88.

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector