Уравнение касательной к кривой заданной неявно

Уравнение касательной к кривой заданной неявно

Формулы касательной и нормали остаются прежними, но меняется техника решения:

Найти уравнения касательной и нормали к кривой в точке .

Решение : судя по уравнению, это какая-то линия 3-го порядка , какая именно – нас сейчас совершенно не интересует.

В уравнении присутствует зловред , и поэтому перспектива выразить функция в явном виде выглядит весьма туманной.

Но этого и не требуется! Есть куда более остроумное решение. Уравнение касательной составим по той же формуле

.

Из условия известны значения , кстати, не помешает убедиться, что они действительно удовлетворяют предложенному уравнению:

Получено верное равенство, значит, с точкой всё в порядке.

Осталось вычислить . Сначала по стандартной схеме найдём производную от функции, заданной неявно :

Перепишем результат с более подходящим для нашей задачи обозначением:

На 2-м шаге в найденное выражение производной подставим :

Осталось аккуратно разобраться с уравнением:

Составим уравнение нормали:

Ответ :

Готово! А поначалу представлялось всё непросто. Хотя производная здесь, конечно, – место уязвимое. Миниатюра для самостоятельного решения:

Найти уравнение нормали к линии в точке

Хватит уже вымучивать касательную =)

В данном случае легко выяснить, что это окружность центром в точке радиуса и даже выразить нужную функцию . Но зачем?! Ведь найти производную от неявно

заданной функции на порядок легче! Она тут чуть ли не самая примитивная.

Краткое решение и ответ в конце урока.

Как найти уравнение касательной и уравнение нормали, если функция задана параметрически?

Ещё проще. Но для этого нужно потренироваться в нахождении

производной от параметрически заданной функции . А так – почти халява:

Составить уравнения касательной и нормали к циклоиде , проведенные в точке, для которой .

Чертёж циклоиды можно найти на странице S и V, если линия задана параметрически (так получилось, что эта статья была создана раньше) . Там даже изображена точка касания.

Читайте также:  Playme silent 2 обзор

Решение : абсцисса и ордината точки касания рассчитываются непосредственно из параметрических уравнений кривой:

Найдём 1-ую производную от параметрически заданной функции :

И вычислим её значение при :

Уравнение касательной составим по обычной формуле с поправкой на несколько другие обозначения:

Ответ : В заключение предлагаю познакомиться с ещё одной интересной

линией: Пример 9

Составить уравнение нормали к полукубической параболе , проведенной в точке, для которой .

Это пример для самостоятельного решения. Напоминаю, что графики параметрически заданных функций можно построить, например, с помощью моего расчётного геометрического макета .

Ну а наш урок подошёл к концу, и я надеюсь, что изложенный материал прошёл для вас не по касательной, а нормально =)

Спасибо за внимание и успехов!

Решения и ответы :

Пример 2: Решение : уравнение касательной составим по формуле:

Предположим, что функция (y = fleft( x
ight)) определена на интервале (left(
ight)) и непрерывна в точке ( in left(
ight).) В этой точке (точка (M) на рисунке (1)) функция имеет значение ( = fleft( <
>
ight).)

Пусть независимая переменная в точке () получает приращение (Delta x.) Соответствующее приращение функции (Delta y) выражается формулой [Delta y = fleft( <+ Delta x>
ight) — fleft( <
>
ight).] На рисунке (1) точка () имеет координаты (left( <
+ Delta x, + Delta y>
ight).) Построим секущую (M.) Ее уравнение имеет вид [y —
= kleft( >
ight),] где (k) − угловой коэффициент, зависящий от приращения (Delta x) и равный [k = kleft( <Delta x>
ight) = frac<<Delta y>><<Delta x>>.] При уменьшении (Delta x) точка () стремится к точке (M:) ( o M.) В пределе (Delta x o 0) расстояние между точками (M) и () стремится к нулю. Это следует из непрерывности функции (fleft( x
ight)) в точке (
🙂 [ <limlimits_<Delta x o 0>Delta y = 0,>;; <Rightarrow limlimits_<Delta x o 0>left| >
ight| > = <limlimits_<Delta x o 0>sqrt <<<left( <Delta x>
ight)>^2> + <<left( <Delta y>
ight)>^2>> = 0.> ] Предельное положение секущей (M
) как раз и представляет собой касательную прямую к графику функции (y = fleft( x
ight)) в точке (M.)

Читайте также:  Jquery узнать ширину элемента

Возможны два вида касательных − наклонные и вертикальные .

Определение (1) .
Если существует конечный предел (limlimits_ <Delta x o 0>kleft( <Delta x>
ight) = ,) то прямая, имеющая уравнение [y — = kleft( >
ight),] называется наклонной касательной к графику функции (y = fleft( x
ight)) в точке (left( <,
>
ight).)

Определение 2 .
Если предельное значение (k) при (Delta x o 0) является бесконечным: (limlimits_ <Delta x o 0>kleft( <Delta x>
ight) = pm infty,) то прямая, имеющая уравнение [x = ,] называется вертикальной касательной к графику функции (y = fleft( x
ight)) в точке (left( <
,>
ight).)

Важно отметить, что [ <= limlimits_ <Delta x o 0>kleft( <Delta x>
ight) > = <limlimits_<Delta x o 0>frac<<Delta y>><<Delta x>> > = >
ight)left( >
ight);; ext<или>>;; >
ight)left(
>
ight) + fleft( <
>
ight).> ] Поскольку угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона (alpha,) который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс, то справедливо следующее тройное равенство: [k = an alpha = f»left( <
>
ight).]

Прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания (left( <,>
ight),) называется нормалью к графику функции (y = fleft( x
ight)) в этой точке (рисунок (2)).

Из геометрии известно, что произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно (-1.) Поэтому, зная уравнение касательной в точке (left( <

,>
ight):) [y —
= f’left( <
>
ight)left( >
ight),] можно сразу записать уравнение нормали в виде [y — = — frac<1><
>><<sin heta + rcos heta >><<=»» frac<<>><<>
ight)>;;; <( ext<касательная>),> ] [
=»» -frac<<>><<>
ight)>;;; <( ext<нормаль>).> ] Исследование кривой можно провести непосредственно в полярных координатах без перехода к декартовой системе. В таком случае наклон касательной удобно определять не углом ( heta) с полярной осью (т.е. с положительным направлением оси абсцисс), а углом (eta) с прямой, содержащей радиус-вектор (r) (рисунок (3)).

Читайте также:  Как добавить твиттер в вк

Тангенс угла (eta) вычисляется по формуле [ an eta =»» frac<<>>.] Угол, образованный нормалью с продолженным радиусом-вектором, равен (eta + largefrac<pi ><2>
ormalsize.) По формуле приведения получаем: [ < an left( <eta + frac<pi ><2>>
ight) > = < — cot eta = — frac<1><< an eta >> > = < — frac<<

Уравнение нормали к кривой $ y $ в точке $ M(x_0,y_0) $ имеет вид:

Нормаль к кривой — это перпендикуляр к касательной, проведенный через точку касания.

Примеры решений

Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке $ M(1;-1) $:

$$ x^2 + 2xy^2 + 3y^4 = 6 $$

Найдем производную, дифференцируя функцию $ y(x) $ по переменной $ x $:

Учитывая, что $ y^2 $ и $ y^4 $ сложные функции продолжаем:

$$ 2x + 2y^2 + 4xyy’ + 12y^3 y’ = 0 $$

Выражаем $ y’ $ из полученного уравнения:

$$ 4xyy’ + 12y^3 y’ = -2x — 2y^2 $$

Выносим $ y’ $ за скобки:

$$ y'(4xy + 12y^3) = -2x — 2y^2 $$

Делим обе части уравнения на выражение $ 4xy+12y^3 $:

Теперь вычисляем значение $ y’ $:

Зная, что $ y’ = frac<1> <4>$ и $ y(x_0) = y(1) = -1 $ составляем уравнения касательной и нормали к кривой в точке $ M(1;-1) $.

Получаем уравнение касательной:

Записываем в красивой форме:

Получаем уравнение нормали:

Раскрываем скобки и записываем в красивой форме, полученное уравнение:

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Уравнение касательной: $ y = frac<1><4>x — frac<3> <4>$

Пример 1
Решение
Ответ

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector