Уравнение окружности описанной около треугольника по координатам

Уравнение окружности описанной около треугольника по координатам

Как составить уравнение описанной около треугольника окружности по координатам его вершин? Как найти координаты центра описанной окружности? Как найти радиус описанной окружности, зная координаты вершин треугольника?

Решение всех этих задач сводится к одной — написать уравнение окружности, проходящей через три данные точки. Для этого достаточно подставить координаты точек (вершин треугольника) в уравнение окружности. Получим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными: координатами центра и радиусом окружности.

Составить уравнение описанной окружности для треугольника с вершинами в точках A(2;1), B(6;3), C(9;2).

Подставив координаты вершин треугольника в уравнение окружности

получим систему уравнений

Вычтем из первого уравнения системы второе:

Теперь из второго уравнения системы вычтем третье:

Приравняем правые части равенств b=-2a+10 и b=3a-20:

Подставим в первое уравнение системы a=6 и b=-2:

a и b — координаты центра окружности, R — её радиус. Таким образом, точка (6;-2) — центр описанной около треугольника ABC окружности, радиус R=5, а уравнение описанной окружности

Для решения аналогичной задачи для четырёхугольника либо многоугольника достаточно знать координаты трёх его вершин.

Уравнение окружности, описанной около треугольника

Составить уравнение окружности, описанной около треугольника, стороны которого заданы уравнениями (9x-2y-41=0), (7x+4y+7=0), (x-3y+1=0).

Найдем координаты вершин треугольника, решив совместно три системы уравнений: $$ cases < 9x-2y-41=0, cr 7x+4y+7=0; >cases < 9x-2y-41=0, cr x-3y+1=0; >cases < 7x+4y+7=0, cr x-3y+1=0; >$$ В результате получим (A(3;-7),B(5;2),C(-1;0).) Пусть искомое уравнение окружности имеет вид ((x-a)^2+(y-b)^2=r^2). Для нахождения (a), (b) и (r) напишем три равенства, подставив в искомое уравнение вместо текущих координат координаты точек (A), (B) и (C): $$(3-a)^2+(-7-b)^2=r^2; (5-a)^2+(2-b)^2=r^2; (-1-a)^2+b^2=r^2.$$ Исключая (r^2), приходим к системе уравнений $$cases < (3-a)^2+(-7-b)^2=(5-a)^2+(2-b)^2, cr (3-a)^2+(-7-b)^2=(-1-a)^2+b^2, >$$ или $$cases < 4a+18b=-29, cr 8a-14b=57. >$$ Отсюда (a=3.1), (b=2.3). Значение (r^2) находим из уравнения ((-1-a)^2+b^2=r^2), т.е. (r^2=22.1). Итак, искомое уравнение записывается в виде ((x-3.1)^2+(y+2.3)^2=22.1).

Читайте также:  Число прописью в ворде

Рассмотрим некоторые примеры, в которых требуется написать уравнение окружности по заданным условиям.

1) Написать уравнение окружности с центром в точке K(5;-1) и радиусом 7.

Уравнение окружности с центром в точке (a;b) и радиусом R имеет вид:

Так как центр окружности — точка K(5; -1), то a=5, b=-1.Подставляем эти данные в уравнение окружности:

2) Напишите уравнение окружности с центром в точке A (8;-3) проходящей через точку C(3;-6).

Так как центр окружности — точка A(8; -3), то a=8, b=-3.

Остаётся найти радиус. Он равен расстоянию от центра окружности до точки, лежащей на окружности, то есть в данном случае радиус окружности равен расстоянию между точками A и C.

Следовательно, уравнение данной окружности

3) Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок AB, если A (-4; -9), B(6;5).

Центром окружности является середина диаметра, в нашем случае — середина отрезка AB. По формулам координат середины отрезка

Центр окружности — точка O(1;-2). Значит, a=1, b=-2.

Радиус можно найти как расстояние от центра окружности до любой из точек A или B окружности. Например,

Таким образом, уравнение окружности с диаметром AB —

4) Написать уравнение окружности, проходящей через три точки: A(4; -5), B(8; 3) C(-8; 11).

Так как точки A, B C принадлежат окружности, то их координаты удовлетворяют уравнению окружности. Подставив координаты точек в уравнение

получаем систему уравнений:

Поскольку правые части уравнений равны, левые также равны. Приравняв правые части 1-го и 2-го уравнений получим

Приравняем правые части 2-го и 3-го уравнений:

на -1 и сложив результат почленно с уравнением

получаем a=-2, b=3. Подставив этот результат в первое уравнение системы:

Следовательно, уравнение окружности, проходящей через три данные точки —

Читайте также:  Как подключиться через vpn к другому компьютеру

5) Написать уравнение окружности, описанной около треугольника ABC с вершинами в точках A(2; 6), B(1; 5) C(8; -2).

Решение аналогично решению задания 4. В результате получим уравнение

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector