Устройство содержит три независимо работающих элемента

Устройство содержит три независимо работающих элемента

Задача 2: Устройство, состоящее из пяти независимо работающих элементов, включается за время Т. Вероятность отказа каждого из них за это время равна 0,2. Найти вероятность того, что откажут:
а) три элемента;
б) не менее четырех элементов;
в) хотя бы один элемент.

Решение: Имеем схему Бернулли с параметрами $p = 0,2$ (вероятность того, что элемент откажет), $n = 5$ (число испытаний, то есть число элементов), $k$ (число «успехов», отказавших элементов). Будем использовать формулу Бернулли (вероятность того, что для $n$ элементов отказ произойдет в $k$ элементах): $$P_n(k)=C_n^k cdot p^k cdot (1-p)^.$$

Получаем
а) Вероятность того, что откажут ровно три элемента из пяти: $$P_5(3)=C_5^3 cdot 0,2^3 cdot 0,8^2=0,0512.$$ б) Вероятность того, что откажут не менее четырех элементов из пяти (то есть или четыре, или пять): $$P_5(k geq 4)=P_5(4)+P_5(5)=C_5^4 cdot 0,2^4 cdot 0,8^1+C_5^5 cdot 0,2^5 cdot 0,8^0=$$ $$= 5 cdot 0,2^4 cdot 0,8+0,2^5=0,00672.$$ в) Вероятность того, что откажет хотя бы один элемент (нашли через вероятность противоположного события — ни один элемент не откажет): $$P_5(k geq 1)=1-P_5(k

  • О заказе и гарантиях
  • Оформление работ
  • Вопросы и ответы
  • 1. В ящике находятся три белых и два черных шара. Из ящика вынимается наудачу один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.

    Решение. Событие, состоящее в появлении белого шара, обозначим через А.

    Общее число случаев .

    Число случаев, благоприятствующих событию А, .

    Тогда: .

    2. В урне находится 10 белых и 6 черных шаров. Из урны наудачу вынимаются два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

    Решение. Обозначим через А событие, состоящее в появлении двух белых шаров.

    Общее число возможных случаев

    .

    Число случаев, благоприятствующих событию А

    .

    3. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найдите вероятность того, что среди шести наудачу взятых деталей 4 стандартных.

    Решение. Общее число возможных исходов . Подсчитаем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию: четыре стандартные детали можно взять из семи стандартных деталей способами; при этом остальные 6-4=2 детали должны быть нестандартными; взять же 2 нестандартные детали из 10-7=3 нестандартных деталей можно способами.

    Следовательно, число благоприятствующих исходов равно

    .

    Искомая вероятность равна

    .

    4. Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,75, вторым стрелком – 0,8, третьим стрелком – 0,9. Определить вероятность того, что все три стрелка одновременно попадут в цель.

    Решение. .

    События А,В,С – независимые.

    Применяем теорему умножения вероятностей:

    .

    5. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет только один стрелок.

    Решение. Вероятность того, что в мишень попадет первый стрелок и не попадет второй, равна

    .

    Вероятность того, что попадет второй стрелок в мишень и не попадет первым равна:

    Читайте также:  Ssd с алиэкспресс отзывы

    .

    Вероятность того, что в мишень попадет только один стрелок, равна сумме этих вероятностей:

    .

    6. Устройство содержит три независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответственно равны: . Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.

    ;

    ;

    ;

    .

    7. Для некоторой местности среднее число ясных дней в июле равно 25. Найти вероятность того, что первые два дня июля будут ясными.

    Событие А – был солнечный день 1-ого июля;

    Событие В – был солнечный день 2-ого июля.

    При этом события А и В зависимы.

    .

    По теореме умножения вероятностей зависимых событий получаем

    .

    8. На предприятии работают две бригады рабочих: первая производит в среднем продукции с процентом брака 4%, вторая — продукции с процентом брака 6%. Найти вероятность того, что взятое наугад изделие:

    а) окажется бракованным;

    б) изготовлено второй бригадой при условии, что изделие оказалось бракованным.

    а) Событие А – взятое наудачу изделие бракованное. Рассмотрим две гипотезы:

    — изделие изготовлено первой бригадой;

    — изделие изготовлено второй бригадой.

    ; .

    Условные вероятности события А соответственно равны:

    ; .

    Искомую вероятность найдем по формуле полной вероятности:

    .

    б) Для определения вероятности того, что бракованное изделие изготовлено второй бригадой, воспользуемся формулой Байеса:

    .

    Задания для самостоятельной работы

    1. Монета подбрасывается дважды. Найдите вероятность того, что при этом герб выпадет:

    а) только один раз;

    б) хотя бы один раз;

    2. Из 60 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент знает 50. Найти вероятность того, что среди 3-х наугад выбранных вопросах студент знает:

    3. Вероятность того, что в течение одного рабочего дня возникнет неполадка в определенном приборе, равна 0,05. Какова вероятность того, что не произойдет ни одной неполадки за 3 рабочих дня?

    4. В одном аквариуме находятся 3 белые, 3 красные и 3 голубые рыбки. Трех случайно выбранных рыбок переносят в другой аквариум. Какова вероятность того, что все 3 рыбки белые?

    5. Студент изучает биологию, химию и физику. Он оценивает, что вероятность получить «пятерку» по этим предметам равна соответственно:

    ; ; .

    Пусть оценки по этим предметам независимы. Какова вероятность, что он:

    1) не получит ни одной «пятерки»?

    2) получит «пятерку» только по биологии?

    6. Отдел технического контроля проверят изделие на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное.

    7. В партии из 80 банок консервов оказалось три помятых. Какова вероятность того, что среди трех подряд взятых банок окажется хотя бы одна помятая?

    8. Имеются три партии ламп по 20, 30, 50 штук в каждой. Вероятность того, что лампы проработают заданное время, равна для каждой партии соответственно 0,7; 0,8; 0,9. Какова вероятность того, что выбранная наудачу лампа из ста данных ламп проработает заданное время?

    Читайте также:  Avast сервер rpc недоступен

    Литература

    1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М., Наука, 1985.

    2. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М., Наука, 1975.

    3. Минорский В.П. Сборник задач и упражнений по высшей математике. – М., Изд-во физ. – мат. лит., 2001.

    4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. М., Высшая школа, 1997.

    5. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – Высшая школа., М., 2000.

    6. Лихолетов И.И., Мацкевич П.П. Руководство к решению задач по высшей математике, теории вероятностей и математической статистике. – Минск, Высшая школа, 1976.

    7. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М., Высшая школа, 2000.

    Дата добавления: 2014-12-16 ; Просмотров: 3829 ; Нарушение авторских прав? ;

    Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

    События образуют полную группу, если хотя бы одно из них обязательно произойдет в результате эксперимента и попарно несовместны.

    Предположим, что событие A может наступить только вместе с одним из нескольких попарно несовместных событий , образующих полную группу. Будем называть события (i = 1, 2,…, n) гипотезами доопыта (априори). Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности:

    . (2.6)

    Пример 16.Имеются три урны. В первой урне находятся 5 белых и 3 черных шара, во второй – 4 белых и 4 черных шара, а в третьей – 8 белых шаров. Наугад выбирается одна из урн (это может означать, например, что осуществляется выбор из вспомогательной урны, где находятся три шара с номерами 1, 2 и 3). Из этой урны наудачу извлекается шар. Какова вероятность того, что он окажется черным?

    Решение. Событие A – извлечен черный шар. Если было бы известно, из какой урны извлекается шар, то искомую вероятность можно было бы вычислить по классическому определению вероятности. Введем предположения (гипотезы) относительно того, какая урна выбрана для извлечения шара.

    Шар может быть извлечен или из первой урны (гипотеза ), или из второй (гипотеза ), или из третьей (гипотеза ). Так как имеются одинаковые шансы выбрать любую из урн, то .

    Далее находим вероятности события A при каждой из гипотез:

    Отсюда следует, что

    Пример 17.Электролампы изготавливаются на трех заводах. Первый завод производит 30 % общего количества электроламп, второй – 25 %,
    а третий – остальную часть. Продукция первого завода содержит 1% бракованных электроламп, второго – 1,5 %, третьего – 2 %. В магазин поступает продукция всех трех заводов. Какова вероятность того, что купленная в магазине лампа оказалась бракованной?

    Решение. Предположения необходимо ввести относительно того, на каком заводе была изготовлена электролампа. Зная это, мы сможем найти вероятность того, что она бракованная. Введем обозначения для событий: A – купленная электролампа оказалась бракованной, – лампа изготовлена первым заводом, – лампа изготовлена вторым заводом,
    – лампа изготовлена третьим заводом.

    Читайте также:  Драйвера для планшета леново

    Имеем:

    Искомую вероятность находим по формуле полной вероятности:

    Формула Байеса. Пусть – полная группа попарно несовместных событий (гипотезы). А – случайное событие. Тогда,

    (2.7)

    Последнюю формулу, позволяющей переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А, называют формулой Байеса.

    Пример 18.В специализированную больницу поступают в среднем 50 % больных с заболеванием К, 30 % – c заболеванием L, 20 % –
    с заболеванием M. Вероятность полного излечения болезни K равна 0,7 для болезней L и M эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найдите вероятность того, что этот больной страдал заболеванием K.

    Решение. Введем гипотезы: – больной страдал заболеванием К, – больной страдал заболеванием L, – больной страдал заболеванием M.

    Тогда по условию задачи имеем . Введем событие А – больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. По условию

    По формуле полной вероятности получаем:

    По формуле Байеса .

    Пример 19.Пусть в урне пять шаров и все предположения о количестве белых шаров равновозможные. Из урны наудачу взят шар, он оказался белым. Какое предположение о начальном составе урны наиболее вероятно?

    Решение. Пусть – гипотеза, состоящая в том, что в урне белых шаров , т. е. возможно сделать шесть предположений. Тогда по условию задачи имеем .

    Введем событие А – наудачу взятый шар белый. Вычислим . Так как , то по формуле Байеса имеем:

    Таким образом, наиболее вероятной является гипотеза , т. к. .

    Пример 20.Два из трех независимо работающих элемента вычислительного устройства отказали. Найдите вероятность того, что отказали первый и второй элементы, если вероятности отказа первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,2; 0,4 и 0,3.

    Решение. Обозначим через А событие – отказали два элемента. Можно сделать следующие гипотезы:

    – отказали первый и второй элементы, а третий элемент исправен. Поскольку элементы работают независимо, применима теорема умножения:

    – отказали первый и третий элементы, а второй элемент исправен. Тогда

    – отказали второй и третий элементы, а первый элемент исправен, причем

    – отказал только один элемент; – отказали все три элемента; – ни один из элементов не отказал.

    Вероятности последних трех гипотез не вычислены, так как при этих гипотезах событие А (отказали два элемента) невозможно и значит условные вероятности , и равны нулю, следовательно, равны нулю и соответствующие произведения в формуле полной вероятности при любых значениях вероятностей гипотез .

    Поскольку при гипотезах событие А достоверно, то соответствующие условные вероятности равны единице: .

    По формуле полной вероятности:

    По формуле Байеса, искомая вероятность того, что отказали первый и второй элементы:

    Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

    Ссылка на основную публикацию
    Adblock detector